Question

15．如图所示，一根轻杆长为L=$\sqrt{2}$R，两端固定A、B两球，m_A：m_B=$\sqrt{3}$：1，放置在半径为R的光滑半球形碗中，在图示位置平衡，A球与球心连线和竖直方向的夹角为θ，碗固定在长木板上，长木板可绕O点转动，现对长木板的另一端施加外力F，使其逆时针缓慢转动，在A、B两球均未脱离碗的过程中，A球与球心连线和竖直方向的夹角θ的变化情况是（　　）

• A． 逐渐变小
• B． 逐渐变大
• C． 先变大后变小
• D． 保持不变

Answer 1

分析 先对球A受力分析，受重力、拉力和支持力；再对球B受力分析，受重力、拉力和支持力；然后根据共点力平衡条件列式，求出角度θ．

解答 解：细杆的长度为$\sqrt{2}R$，故球与圆心的连线与细杆的夹角为45°；
取杆方向为x轴，与杆垂直为y轴，对A受力分析，受重力G_A、拉力F和支持力F_N1，如图

根据共点力平衡条件，有
x方向：F+m_Agsin（45°-θ）=F_N1cos45°
y方向：m_Agcos（45°-θ）=F_N1sin45°
整理得：F+m_Agins（45°-θ）=m_Agcos（45°-θ）
对B，同理得：F=m_Bgsin（45°-θ）+m_Bgcos（45°-θ）
解得：tan（45°-θ）=$\frac{{m}_{A}g-{m}_{B}g}{{m}_{A}g+{m}_{B}g}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$=$2-\sqrt{3}$
故θ=45°-arctan（$2-\sqrt{3}$）
可知该夹角与小球的质量关系有关，而与碗的位置无关，在A、B两球均未脱离碗的过程中，A球与球心连线和竖直方向的夹角θ保持不变．
故选：D

点评 本题关键是对两个小球受力分析，然后根据共点力平衡条件列方程求解．