Question

13．宇航员站在一星球表面上某高度处沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L；若仅将抛出时的高度变为原来的2倍，则抛出与落地点之间的距离变为3L．已知两落地点在同一水平面上，设此星球半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）抛出时的初速度；
（2）该星球的密度．

Answer 1

分析 （1）小球在星球上做平抛运动，设表面的重力加速度为g，对两次平抛运动应用平抛运动基本公式列式，联立方程即可求解；
（2）求出重力加速度，再结合金代换GM=gR²可求的星球质量，再根据密度等于质量除以体积求解．

解答 解：（1）小球在星球上做平抛运动，设表面的重力加速度为g，第一次平抛的水平位移和竖直高度分别为x₁和y₁，第二次平抛的水平位移和竖直高度分别为x₂和y₂，
所以有：x₁=v₀t，
${y_1}=\frac{1}{2}g{t^2}$，
可得：${x_1}={v_0}\sqrt{\frac{{2{y_1}}}{g}}$，
可知今将高度变为原来的2倍时，${x_2}=\sqrt{2}{x_1}$，
由几何知识可得：$x_1^2+y_1^2={L^2}$，
${x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}={（3L）}^{2}$，
即$2{x}_{1}^{2}+4{y}_{1}^{2}=9{L}^{2}$，
解得：${x_1}=\frac{L}{{\sqrt{2}}}$，${y_1}=\frac{L}{{\sqrt{2}}}$，
所以有：${v_0}=\frac{L}{{\sqrt{2}t}}$
（2）利用上式可得：$g=\frac{{\sqrt{2}L}}{t^2}$，
由黄金代换GM=gR²可得：$M=\frac{{\sqrt{2}L{R^2}}}{{G{t^2}}}$，
则密度为：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4π}{3}{R}^{3}}=\frac{3\sqrt{2}L}{4πG{t}^{2}R}$．
答：（1）抛出时的初速度为$\frac{L}{\sqrt{2}t}$；
（2）该星球的密度为$\frac{3\sqrt{2}L}{4πG{t}^{2}R}$．

点评 本题提供了利用重力加速度估测星球质量的一种方法，利用平抛运动的分位移和合位移关系公式计算出重力加速度是关键．