Question

19．如图，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘小船直线拖向岸边．已知拖动缆绳的电动机功率恒为P，小船的质量为m，小船所受到水的阻力大小恒为f，经过A点时的速度大小为v，小船从A点沿直线运动到B点经历时间为t，此时缆绳与水平面夹角为θ，A、B两点间水平距离为d，缆绳质量忽略不计．则（　　）

• A． 小船经过B点时的速度大小为V_B=$\sqrt{{v}^{2}+\frac{2（Pt-fd）}{m}}$
• B． 小船经过B点时绳子对小船的拉力大小为$\frac{Pcosθ}{\sqrt{{v}^{2}+\frac{2（Pt-fd）}{m}}}$
• C． 小船经过A点时电动机牵引绳子的速度大小为$\frac{v}{cosθ}$
• D． 小船经过B点时的加速度大小为$\frac{P}{\sqrt{{m}^{2}{v}^{2}+2m（Pt-fd）}}$-$\frac{f}{m}$

Answer 1

分析 根据功的表达式求出阻力所做的功；根据动能定理求出小船经过B点时的速度．
设小船经过B点时绳的拉力大小为F，绳与水平方向夹角为θ，绳的速度大小为u，根据牛顿第二定律、功率P=Fu，以及小船速度与绳子收缩速度的关系求出B点的加速度．

解答 解：A、小船从A点运动到B点克服阻力做功W_f=fd      ①
小船从A点运动到B点，电动机牵引绳对小船做功W=Pt  ②
由动能定理有  W-W_f=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv²                ③
由①②③式解得  v₁=$\sqrt{{v}^{2}+\frac{2（Pt-fd）}{m}}$   ④故A正确；
B、设小船经过B点时绳的拉力大小为F，绳与水平方向夹角为θ，绳的速度大小为u，

P=Fu                               ⑤
u=v₁cosθ                           ⑥
联立④⑤⑥得：F=$\frac{P}{cosθ}•\sqrt{\frac{m}{m{v}^{2}+2（Pt-fd）}}$．故B错误；
C、由题可知，OB与水平面之间的夹角是θ，所以OA与水平面之间的夹角小于θ，则小船经过A点时电动机牵引绳子的速度大小一定大于$\frac{v}{cosθ}$．故C错误；
D、根据牛顿第二定律 Fcosθ-f=ma             ⑦
由④⑤⑥⑦得a=$\frac{P}{{\sqrt{{m^2}{v^2}+2m（Pt-fd）}}}-\frac{f}{m}$ 故D正确．
故选：AD

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律等知识，综合性较强，对学生能力要求较高，尤其第三问要运用到速度的分解．