Question

9．如图所示，竖直直角坐标系xoy平面内，存在方向竖直向上E=2×10²V/m的匀强电场；在y＞0的空间中，存在垂直xoy平面水平向里的匀强磁场，磁感应强度B=2$\sqrt{2}$×10²T，一平行板电容器下极板正好在x轴上，上极板在y=5cm处，极板与y轴垂直；在y=-（5$\sqrt{2}$+5）cm处有垂直于y轴的绝缘挡板（图中未画出），小球与挡板发生弹性碰撞，碰撞遵从反射定律，有质量为m=10g、电量为q=+5×10^-4C的弹性带电小球，由静止从原点出发，竖直向上经电容器两极板间电场E₀=4×10²V/m加速后（两极板间无磁场，极板很短），通过上极板上的小孔A进入到磁场中，g取10m/s²．试求：
（1）小球到达A点时的速率v₀
（2）小球在磁场中运动的半径R
（3）小球从O点出发到再次回到O点所用的时间t．

Answer 1

分析 （1）小球在电场中加速，由动能定理可以求出小球的速度；
（2）小球在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出小球的轨道半径；
（3）小球在电场中加速、在磁场中做匀速圆周运动，根据匀变速运动规律与做圆周运动的周期公式求出小球的运动时间．

解答 解：（1）小球在极板间的加速过程中，
由动能定理得：$（q{E}_{0}-mg）{h}_{1}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$ …①
解得：v₀=1m/s；
（2）小球在磁场中运动时，电场力平衡重力：qE=mg=0.1N …②
洛仑兹力提供小球做圆周运动的向心力，
由牛顿第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$  ③，
解得：R=$\frac{1}{10\sqrt{2}}$m≈0.07m=7cm ④
（3）小球的运动分三个阶段：
第一阶段加速直线：y=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}-mg}{m}$t₁²  …⑤
第二阶段匀速圆周，圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$ …⑥
圆周运动的时间：t₂=$\frac{θ}{2π}$T…⑦
第三阶段匀速直线：t₃=$\frac{s}{{v}_{0}}$…⑧
其中：s=$\sqrt{2}$（R+$\frac{\sqrt{2}}{2}$R）…⑨
由运动的对称性可知：t_总=2（t₁+t₂+t₃）…⑩
解得：t_总=2（$\frac{1}{10}$+$\frac{\sqrt{2}π}{16}$+$\frac{2+\sqrt{2}}{20}$）s≈1.098s；
答：（1）小球到达A点时的速率v₀为：1m/s；
（2）小球在磁场中运动的半径R为7cm；
（3）小球从O点出发到再次回到O点所用的时间t为1.098s．

点评 本题考查了带电小球在电场与复合场中的运动，分析清楚小球的运动过程、作出小球的运动轨迹是正确解题的关键，对小球正确受力分析，应用动能定理、运动学公式与牛顿第二定律可以解题．