Question

理论证明，取离星球中心无穷远处为引力势能的零势点时，以物体在距离星球中心为r 处的引力势能可表示为：Ep=-G

Mm

r

，式中G为万有引力常数，M、m表示星球与物体的质量，而万有引力做的正功等于引力势能的减少．已知月球质量为M、半径为R，探月飞船的总质量为m．月球表面的重力加速度为g．
（1）求飞船在距月球表面高度为H=R的环月轨道运行时的速度v；
（2）设将飞船从月球表面发送到上述环月轨道的能量至少为E．有同学提出了一种计算此能量E的方法：根据E=

1

2

mv2+mgH，将（1）中的v代入即可．请判断此方法是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法与结果（不计飞船质量的变化及其他天体的引力）．

Answer 1

分析：（1）探月飞船作圆周运动所需的向心力由月球对探月飞船的万有引力提供，根据牛顿第二定律和向心力公式求解速度v．
（2）探月飞船从月球表面发送到H高处的过程中月球的引力为变力，飞船克服引力所做的功不等于mgH．应根据题中条件：引力势能Ep=-G

Mm

r

，根据能量守恒列式求解．

解答：解：（1）探月飞船作圆周运动所需的向心力由月球对探月飞船的万有引力提供，则有  
  G

Mm

(R+H)2

=

mv2

(R+H)

解得 v=

GM R+H

=

GM 2R

（2）不正确；因探月飞船从月球表面发送到H高处的过程中月球的引力为变力，故克服引力所做的功不等于mgH．  
由引力势能定义可知，探月飞船从月球表面发送到H处引力势能的改变量 △EP=(-G

Mm

R+H

)-(-G

Mm

R

)
整理后得　△EP=GMm

H

R(R+H)

由能量守恒定律可知，将探月飞船从月球表面发送到H处所需的能量为 E=

1

2

mv2+△Ep
联立求解得　E=

GMm(R+2H)

2R(R+H)

=

3GMm

4R

答：
（1）飞船在距月球表面高度为H=R的环月轨道运行时的速度v为

GM 2R

；
（2）不正确．正确的解法与结果见上．

点评：本题关键是明确卫星的向心力来源、势能的表达式、动能的表达式，然后根据牛顿第二定律和能量守恒定律列式求解．