Question

如图，水平地面上方有一底部带有小孔的绝缘弹性竖直档板，板高h=9m，与板等高处有一水平放置的篮筐，筐口的中心离挡板s=3m．板的左侧以及板上端与筐口的连线上方存在匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B=1T；质量、电量、直径略小于小孔宽度的带电小球（视为质点），以某一速度水平射入场中做匀速圆周运动，若与档板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电量不变，小球最后都能从筐口的中心处落入筐中，，求：

（1）电场强度的大小与方向；

    （2）小球运动的最大速率；

    （3）小球运动的最长时间。

Answer 1

解：（1）因小球能做匀速圆周运动，所以有：

    　　┄┄┄┄┄┄┄┄┄３分

    方向竖直向下　　　┄┄┄┄┄┄┄┄┄１分

（2）洛仑兹力提供向心力有：    且 ┄┄┄┄┄2分

           得：        ┄┄┄┄┄1分

小球不与挡板相碰直接飞入框中，其运动半径最大，如图1所示，由几何知识可得：

      　┄┄┄┄┄2分

    求得：　┄┄┄┄┄1分

5m/s┄┄┄┄┄1分

（3）因为速度方向与半径方向垂直，圆心必在档板的竖直线上 

设小球与档板碰撞n次，其最大半径为

        要击中目标必有：         

   

        n只能取0 ,  1  ┄┄┄┄┄   2分

        当n=0，即为（2）问中的解

        当n=1，时可得：

        ┄┄┄┄┄2分

解得：R₁=3m， R₂=3.75m  ┄┄┄┄2分

R₁=3m时半径最小，其运动轨迹如图2中的轨迹①所示，其速度为：

，3m/s  ┄┄┄┄┄1分

  即为所求的最小速度。

（其它解法同样给分，再提供两种解法）

（3）因为速度方向与半径方向垂直，圆心必在档板的竖直线上 

设小球与档板碰撞n次

      代入得

  

使R有解必须有     代入得

               可得           

        n只能取0，1  （以下同上）

（3）要求最小速度，需求最小半径，由几何关系得：

   或 ┄3分

整理得：

此方程R有解，则有：

得   所以：   或（n为奇数）

（以下同上）