Question

20．小船在200m宽的河中横渡，水流速度为2m/s，船在静水中的航速是4m/s，求：
（1）当小船的船头始终正对对岸时，它将在何时何处到达对岸．
（2）要是小船到达正对岸，应如何行使？历时多长．
（3）小船过河的最短时间为多少？
（4）若水流速度是5m/s，船在静水中的速度是3m/s，怎样过河才能使船漂向下游的距离最小？最小距离是多少？

Answer 1

分析 （1）小船的船头始终正对对岸时．船参与了两个分运动，一是沿河岸方向上的运动，一是垂直于河岸方向上的运动，通过垂直于河岸方向上的运动，求出渡河时间，即可求得沿和方向上的位移．
（2）让船在静水中的速度沿河岸方向上的分量与水流的速度等大反向时，船可以到达正对岸，把船在静水中的速度进行正交分解，结合运动学公式即可解答．
（3）船头始终指向河对岸时渡河时间最短，几何第一问即可得知结果．
（4）根据条件首先看判知船不能垂直渡河，船在静水中的速度方向垂直于合速度的方向时，对河位移最小，结合几何关系即可解答．

解答 解：（1）当小船的船头始终正对对岸时，渡河时间为：
t=$\frac{d}{{v}_{船}}$=$\frac{200}{4}$s=50s
此过程船沿河流方向的位移为：s=v_水t=2×50m=100m
所以船将历时50s时在河对岸的下游100m到达对岸．
（2）要是小船到达正对岸，船在沿河岸方向上的合速度为零，即船的速度在沿河岸方向上的分量与水流的速度等大反向，设船在静水中的速度方向与河岸之间的夹角为θ，有：
v_船cosθ=v_水
代入数据解得：θ=60°
到达对岸的时间为：t′=$\frac{d}{{v}_{船}sin60°}$=$\frac{200}{4×sin60°}$=$\frac{100}{\sqrt{3}}$s
（3）当小船的船头始终正对对岸时，渡河时间最短，为：t=50s
（4）若水流速度是5m/s，船在静水中的速度是3m/s，因水流的速度大于船在静水中的速度，所船不能垂直于河岸对河，要使渡河距离最小，需要使船在静水中的速度方向垂直于合速度的方向，此时合速度与河岸方向之间的夹角为θ′，有：sinθ′=$\frac{3}{5}$=0.6
得：θ′=37°
此情况下渡河，船行驶的最小距离为：s′=$\frac{d}{sinθ′}$=$\frac{200}{0.6}$=333.3m
答：（1）当小船的船头始终正对对岸时，它将在历时50s时在河对岸的下游100m处到达对岸．
（2）要是小船到达正对岸，应船头指向河上游，与河岸成60°角的方向行驶，历时$\frac{100}{\sqrt{3}}$s．
（3）小船过河的最短时间为50s
（4）若水流速度是5m/s，船在静水中的速度是3m/s，需要使船在静水中的速度方向垂直于合速度的方向，才能使船漂向下游的距离最小，最小距离是333.3m

点评 该题对于船渡河的情况考查的非常全面，对于船对河的问题，可分为两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速；存在两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间．
1、渡河时间最短的问题：当船头始终垂直于河岸时，渡河时间最短，此时间与河水的流速无关．
2、垂直渡河问题，首先应满足一个条件，就是船在静水中的速度必须大于河水的流速，否则不能垂直渡河，此种情况把船在静水中的速度进行正交分解．
3、渡河最小位移的问题，按另种情况进行解答，①船速大于水速时，最短位移的大小即为和的宽度；②船速小于水速时，当船在静水中的速度与合速度垂直时，渡河的位移最小．
同时处理“速度关联类问题”时，必须要明白“分运动”与“合运动”的关系：
（1）独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果互不干扰．
（2）同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束．
（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代．