Question

过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径、。一个质量为kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以的初速度沿轨道向右运动，A、B间距m。小球与水平轨道间的动摩擦因数，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取，计算结果保留小数点后一位数字。试求：

   （1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，小球的速度大小；

   （2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少；

   （3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径应满足的条件；小球最终停留点与起点的距离。

Answer 1

（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v₁根据动能定理

解得：

（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v₂，由题意

      解得：

（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：

I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v₃，应满足

         解得：

II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R₃，根据动能定理

    解得：

              解得： R₃=27.9m

要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件

  或

当时          

当时小球最终焦停留点与起始点A的距离为L〞，则

解析:

略