Question

（2006?连云港二模）如图所示，竖直放置的两根足够长的光滑金属导轨相距为L，导轨的两端分别与电源（串有一滑动变阻器R）、定值电阻、电容器（原来不带电）和开关K相连．整个空间充满了垂直于导轨平面向外的匀强磁场，其磁感应强度的大小为B．一质量为m，电阻不计的金属棒ab横跨在导轨上．已知电源电动势为E，内阻为r，电容器的电容为C，定值电阻的阻值为R₀，不计导轨的电阻．
（1）当K接1时，金属棒ab在磁场中恰好保持静止，则滑动变阻器接入电路的阻值R为多大？
（2）当K接2后，金属棒ab从静止开始下落，下落距离s时达到稳定速度，则此稳定速度的大小为多大？下落s的过程中所需的时间为多少？
（3）ab达到稳定速度后，将开关K突然接到3，试通过推导，说明ab作何种性质的运动？求ab再下落距离s时，电容器储存的电能是多少？（设电容器不漏电，此时电容器没有被击穿）

Answer 1

分析：（1）当K接1时，金属棒ab在磁场中恰好保持静止，棒的重力与安培力平衡，由平衡条件和安培力公式列式，可求出电路中的电流，再根据欧姆定律求R；
（2）当K接2后，金属棒ab从静止开始下落，先做加速度减小的变加速运动，后做匀速运动，达到稳定状态，根据重力的功率等于电功率列式求速度．根据动量定理和法拉第定律列式求时间．
（3）ab达到稳定速度后，将开关K突然接到3，电容器充电，电路中充电电流，ab棒受到安培力，安培力的瞬时表达式F=BiL，i=

△Q

△t

=

C△U

△t

，又U=E=BLv，再结合牛顿第二定律求得瞬时加速度，即可判断棒的运动性质．根据能量守恒求电容器储存的电能．

解答：解：（1）当K接1时，金属棒ab在磁场中恰好保持静止，棒的重力与安培力平衡，则有
  mg=BIL
又I=

E

R+r

联立解得，R=

BEL

mg

-r
（2）当K接2后，棒达到稳定状态时做匀速运动，则有
   mgv=

E′2

R0

，
又感应电动势E′=BLv
联立上两式得：v=

mgR0

B2L2

①
根据动量定理得：mgt-B

.

I

Lt=mv
而q=

.

I

t
又感应电荷量q=

.

I

t，

.

I

=

. E

R0

，

.

E

=

△Φ

△t

，△Φ=BLs，联立得q=

BLs

R0

联立解得t=

mR0

B2L2

+

B2L2s

mgR0

．
（3）将开关K突然接到3，电容器充电，电路中充电电流，ab棒受到向上的安培力，设瞬时加速度为a，根据牛顿第二定律得
   mg-BiL=ma ②
又i=

△Q

△t

=

C△U

△t

，又U=E=BLv，得i=

CBL?△v

△t

=CBLa③
由②③得：mg-BL?CBLa=ma
解得，a=

mg

m+B2L2C

 ④
可见棒的加速度不变，做匀加速直线运动．
当ab下降距离s时，设棒的速度为v′，则v′²-v²=2as ⑤
设电容器储存的电能为△E，则根据能量守恒得
   mgs+

1

2

mv2=

1

2

mv′2+△E⑥
联立①④⑤⑥得：△E=

B2L2mgCs

m+B2L2C

．
答：（1）滑动变阻器接入电路的阻值R为

BEL

mg

-r．
（2）稳定速度的大小为

mgR0

B2L2

，下落s的过程中所需的时间为

mR0

B2L2

+

B2L2s

mgR0

．
（3）棒做加速度为a=

mg

m+B2L2C

的匀加速直线运动，ab再下落距离s时，电容器储存的电能是

B2L2mgCs

m+B2L2C

．

点评：本题是电磁感应与电路、力学知识的综合，关键要会推导加速度的表达式，通过分析棒的受力情况，确定其运动情况．