Question

如图所示，轻弹簧一端连于固定点O，可在竖直平面内自由转动，另一端连接一带电小球P,其质量m=2×10^-2 kg,电荷量q="0.2" C.将弹簧拉至水平后，以初速度V₀="20" m/s竖直向下射出小球P,小球P到达O点的正下方O₁点时速度恰好水平，其大小V="15" m/s.若O、O₁相距R="1.5" m,小球P在O₁点与另一由细绳悬挂的、不带电的、质量M=1.6×10^-1 kg的静止绝缘小球N相碰。碰后瞬间，小球P脱离弹簧，小球N脱离细绳，同时在空间加上竖直向上的匀强电场E和垂直于纸面的磁感应强度B=1T的匀强磁场。此后，小球P在竖直平面内做半径r="0.5" m的圆周运动。小球P、N均可视为质点，小球P的电荷量保持不变，不计空气阻力，取g="10" m/s²。那么，

（1）弹簧从水平摆至竖直位置的过程中，其弹力做功为多少？
（2）请通过计算并比较相关物理量，判断小球P、N碰撞后能否在某一时刻具有相同的速度。
(3)若题中各量为变量，在保证小球P、N碰撞后某一时刻具有相同速度的前提下，请推导出r的表达式(要求用B、q、m、θ表示，其中θ为小球N的运动速度与水平方向的夹角)。

Answer 1

见解析

（1）设弹簧的弹力做功为W，有：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　①
代入数据，得：W＝J　　　　　　　　　　　　　　　　②
（2）由题给条件知，N碰后作平抛运动，P所受电场力和重力平衡，P带正电荷。设P、N碰后的速度大小分别为v₁和V，并令水平向右为正方向，有:     ③
而：　　　　　　　　　　　　　　　　            ④
若P、N碰后速度同向时，计算可得V<v1，这种碰撞不能实现。P、N碰后瞬时必为反向运动。有：                   ⑤

P、N速度相同时，N经过的时间为，P经过的时间为。设此时N的速度V1的方向与水平方向的夹角为，有：
　　　　　　　                             ⑥
　　　　　　　　　　　  　         ⑦
代入数据，得：　　　　　　　　　　             ⑧
对小球P，其圆周运动的周期为T，有：
　　　　　　　　　　　　　            　      ⑨
经计算得：＜T，
P经过时，对应的圆心角为，有：　　　     ⑩
当B的方向垂直纸面朝外时，P、N的速度相同，如图可知，有：
联立相关方程得：
比较得，，在此情况下，P、N的速度在同一时刻不可能相同。
当B的方向垂直纸面朝里时，P、N的速度相同，同样由图，有：，
同上得：，
比较得，，在此情况下，P、N的速度在同一时刻也不可能相同。
（3）当B的方向垂直纸面朝外时，设在t时刻P、N的速度相同，，
再联立④⑦⑨⑩解得：
当B的方向垂直纸面朝里时，设在t时刻P、N的速度相同，
同理得：，
考虑圆周运动的周期性，有:
（给定的B、q、r、m、等物理量决定n的取值）