Question

如图甲所示，平行虚线a、b将空间分为三个区域，两侧存在方向相反的匀强磁场，中间存在变化的电场．磁感应强度大小均为B，左侧的磁场方向垂直纸面向里，右侧的磁场方向垂直纸面向外；电场强度随时间变化的图象如图乙所示，选垂直边界向右为正方向．t₀=0时，在电场内紧靠虚线a的某处无初速度释放一个电量为q、质量为m的带正电的粒子，在t1=

πm

qB

时刻，粒子第一次到达虚线b进入磁场，已知a、b之间的距离为d，不计粒子重力．求：

（l）E₀的大小；
（2）若已知在2

1πm

3qB

时刻粒子第一次进入左侧磁场，求粒子在左侧磁场中做圆周运动的半径（结果可保留π）；
（3）在t2=

5πm

qB

时刻，粒子距释放点的距离（结果可保留π）．

Answer 1

分析：（1）粒子直线加速，先根据位移时间关系公式求解加速度，然后根据牛顿第二定律列式求解电场强度；
（2）粒子在右侧磁场中经过半个周期进入电场，然后根据动能定理求解进入左侧磁场的速度，再根据牛顿第二定律求解圆周运动的半径；
（3）粒子不断的直线加速、减速和圆周运动，先画出轨迹，然后分段分析．

解答：解：（1）粒子第一次在电场中加速过程是初速度为零的匀加速直线运动，有：
d=

1

2

a1

t

2 1

t₁=

πm

qB

解得：a1=

2d

t 2 1

=

2d q 2B2

π2m2

由牛顿第二定律，有：
qE₀=ma₁
解得：E0=

ma1

q

=

2d q  B2

π2m

（2）粒子进入右侧磁场时的速度大小为：v1=a1t1=

2dqB

πm

由题意，粒子在右侧磁场中经过半个周期第二次进入电场区域，是加速过程，根据牛顿第二定律，有：
q（3E₀）=ma₂
解得：a2=

3E0q

m

=

6dq2B2

π2m2

所以粒子第一次进入左侧磁场的速度为；
v2=v1+a2(

πm

3qB

)=

4dqB

πm

粒子在左侧磁场中的运动时，由牛顿第二定律：qv2B=m

v 2 2

r2

解得：r2=

4d

π

（3）由题意可知，粒子第三次进入电场中由速度v₂减小为v₁，进入右侧磁场做圆周运动的半径可由第（2）问的结论得出：r1=

r2

2

=

2d

π

由图可知t3=

5πm

qB

时粒子第三次到达a边界，据示释放点的距离为：
L=4r₁+2r₂
解得：L=

16

π

d
答：（l）E₀的大小为

2d q  B2

π2m

；
（2）粒子在左侧磁场中做圆周运动的半径为

4d

π

；
（3）在t2=

5πm

qB

时刻，粒子距释放点的距离为

16

π

d．

点评：本题关键分析清楚粒子的运动规律，注意题中乙图中的时间都是设计好的离开电场和进入电场的时刻，不难．