Question

某颗人造地球卫星在赤道平面上空绕地球做匀速圆周运动，当太阳光直射赤道时，该卫星持续被太阳光照亮时间与太阳光持续照射不到该卫星的时间之比为5：1．已知地球半径为R，地球表面处的重加速度为g，不考虑大气对光的折射．求：
（1）卫星离地面的高度h；
（2）卫星绕地心运动的周期T．

Answer 1

分析：（1）卫星绕地球做匀速圆周运动，利用几何关系确定太阳照不到卫星的范围，那么，即可求出卫星离地面的高度h
（2）卫星绕地球做匀速圆周运动，受到的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律求解周期

解答：解：设地球同步卫星的轨道半径为r，离地高度为h，则：
r=R+h①
该卫星持续被太阳光照亮时间与太阳光持续照射不到该卫星的时间之比为5：1，如图可得：
∠AOB=60°
根据对称性结合三角函数关系得：cos60°=

R

R+h

故h=R②
（2）地球表面出有一质量为m物体，由重力约等于万有引力得；
mg=

GMm

R2

③
设卫星质量为m₁，由万有引力提供向心力，有：

GMm1

r2

=m1r(

2π

T

)2④
联立①②③④解得：T=4π

2R g

答：（1）卫星离地面的高度为R
（2）卫星绕地心运动的周期为4π

2R g

点评：决天体问题把握两条思路：一是万有引力提供向心力，二是重力等于万有引力．针对本题关键还要分析好几何关系来求解