汽车甲在倾角为θ的斜坡上运行.司机突然发现在斜坡底端水平路面上距斜坡底端B点100m处停放着一辆汽车乙.汽车甲立即关闭油门.通过速度计记录下汽车甲的速度随时间变化规律如表.设汽车在斜坡和水平路面上受到的阻力均为汽车对地面压力的k倍.已知重力加速度g=10m/s2.求:(1)斜面的倾角,(2)汽车甲在关闭油门后3.5s末的速度,(3)通过计算说明汽车甲� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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13．汽车甲在倾角为θ的斜坡上运行，司机突然发现在斜坡底端水平路面上距斜坡底端B点100m处停放着一辆汽车乙，汽车甲立即关闭油门，通过速度计记录下汽车甲的速度随时间变化规律如表，设汽车在斜坡和水平路面上受到的阻力均为汽车对地面压力的k倍，已知重力加速度g=10m/s²，求：
（1）斜面的倾角（可用三角函数表示）；
（2）汽车甲在关闭油门后3.5s末的速度；
（3）通过计算说明汽车甲会不会与汽车乙相撞，若不相撞，求汽车甲停止点距汽车乙的距离，若相撞，汽车乙在汽车甲关闭油门后3s末以多大加速度启动才能避免与汽车甲相撞？

时刻	0	0.5	1.0	1.5	…	4.5	5.0	5.5	6.0	…
速度（m/s）	20	21.8	23.6	25.4	…	26.3	24.8	23.3	21.6	…

分析（1）由表格中的数据判断出加速阶段的加速度和减速阶段的加速度，然后由牛顿第二定律求出k的大小以及斜面的倾角；
（2）求出甲的运动分成加速阶段与减速阶段两段，加速阶段的末速度等于减速阶段的初速度，结合速度的关系与速度时间公式即可求出；
（3）根据匀减速运动的情况，分析甲在水平方向的位移，然后与B的位置比较即可．

解答解：（1）半个记录了关闭油门后汽车的速度变化，速开始时的加速度：
${a}_{1}=\frac{△{v}_{1}}{△{t}_{1}}=\frac{23.6-20}{1.0}=3.6m/{s}^{2}$
汽车在水平面上的加速度：${a}_{2}=\frac{△{v}_{2}}{△{t}_{2}}=\frac{21.6-24.8}{6.0-5.0}=-3.2m/{s}^{2}$
由牛顿第二定律得：ma₂=-kmg
所以：$k=\frac{{a}_{2}}{g}=\frac{3.2}{10}=0.32$
在斜面上：mgsinθ-kmgcosθ=ma₁
sin²θ+cos²θ=1
联立得：cosθ=0.790
所以：θ=arccos0.790
（2）设经过时间t汽车到达斜面的底端，则：20+a₁t+a₂（6.0-t）=21.6
代入数据得：t=3.0s
汽车到达坡底的速度为：v_m=20+3.6×3.0=30.8m/s
需要再经过：t′=3.5-3.0=0.5s
速度大小：v_3.5=v_m+a₂t′=20+3.6×3.0=29.2m/s
（3）甲车在水平面上的最大位移：${x}_{m}=\frac{0-{v}_{m}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{30．{8}^{2}}{2×3.2}=148.225$m
由于在汽车甲关闭油门后3s末恰好到达斜面的底端，甲开始减速，而乙开始加速，设经过时间t₀恰好不相碰，则：
${v}_{m}{t}_{0}+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{0}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{0}{t}_{0}^{2}=100$；v_m+a₂t₀=a₀t₀
联立得：${a}_{0}=1.54m/{s}^{2}$
答：（1）斜面的倾角是arccos0.790；
（2）汽车甲在关闭油门后3.5s末的速度是29.2m/s；
（3）通过计算方向汽车甲会与汽车乙相撞；若相撞，汽车乙在汽车甲关闭油门后3s末以1.54m/s²的加速度启动才能避免与汽车甲相撞．

点评该题考查匀变速直线运动的位移公式与速度公式的应用，同时涉及追击问题，解决本题的关键知道两车恰好不相撞的临界情况，结合速度公式和位移公式灵活求解，难度中等．

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