Question

【题目】如图所示，光滑半圆形轨道处于竖直平面内，半圆形轨道与光滑的水平地面相切于半圆的端点A.一质量为m的小球在水平地面上C点受水平向左的恒力F由静止开始运动，当运动到A点时撤去恒力F，小球沿竖直半圆形轨道运动到轨道最高点B点，最后又落在水平地面上的D点(图中未画出)．已知A、C间的距离为L，重力加速度为g.

（1）若轨道半径为R，求小球到达半圆形轨道B点时对轨道的压力FN；

（2）为使小球能运动到轨道最高点B，求轨道半径的最大值Rm；

（3）轨道半径R多大时，小球在水平地面上的落点D到A点距离最大？最大距离xm是多少？

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）；

【解析】试题分析：先由动能定理求出小球到达B点时的速度大小，再由牛顿第二定律求出轨道对小球的弹力，即可由牛顿第三定律得到小球对轨道的压力．当小球对轨道的压力恰好为零时，求出轨道半径的最大值Rm；小球离开B点后做平抛运动，根据高度求出平抛运动的时间，再根据初速度和时间求出平抛运动的水平位移表达式，与第1题中小球经过B点的速度联立，运用数学知识求解．

（1）设小球到达圆轨道B点时速度为v，从C到B，由动能定理有

解得：

据牛顿第二定律有： ，解得

根据牛顿第三定律可知，小球到达圆轨道B点时对轨道的压力为： ，方向竖直向上．

（2）轨道半径越大，小球到达最高点的速度越小，当小球恰好到达最高点时，轨道对小球的作用力为零，则小球对轨道的压力也为零，此时轨道半径最大，则令，解得轨道半径的最大值
（3）设小球平抛运动的时间为t，在竖直方向上有： ，得

水平位移为

当时，水平位移x最大，得
D到A最大距离为：