Question

14．如图所示，AB与CD是两段半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，圆心连线O₁O₂水平，BC错开的距离略大于小球的直径，整个装置竖直放置于水平长轨道MN上，AB与水平轨道MN相切于A点．有一自由长度小于MP的轻弹簧左端固定于M处，右端与质量为m的小球接触（不拴接）．水平轨道MP段光滑，PA段粗糙、长为2R，运动小球受到PA段阻力为小球重力的0.25倍．开始时，弹簧处于被压缩的锁定状态，锁定时的弹性势能E_P=5mgR，解除锁定后，小球将被弹出，重力加速度为g，试计算：
（1）小球对圆弧轨道A点压力的大小和方向；
（2）判断小球能否过D点，若能过D点，则计算小球落在轨道MN上的位置离D点的水平距离．

Answer 1

分析 （1）解除弹簧锁定后，弹簧弹性势能转化为小球动能，由机械能守恒定律求出小球获得的速度．小球从P运动到A点过程中，根据动能定理求出小球到达A点时的速度．在A点，由重力和轨道的支持力的合力充当向心力，由牛顿第二定律求得支持力，再由牛顿第三定律得到小球对轨道的压力．
（2）根据重力等于向心力求出小球能过D点的临界速度．再由能量守恒定律求出能过D点时弹簧弹性势能的临界值，即可分析小球能否过D点．若能过D点，再由平抛运动的规律求水平距离．

解答 解：（1）解除弹簧锁定后，弹簧弹性势能转化为小球动能，则有：
E_P=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$                                                       
小球从P运动到A点过程中，根据动能定理得：
-f•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$                                      
小球到圆弧轨道A点时，设小球受轨道的弹力为N，运用牛顿第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
由以上三式，代入f=0.25mg，E_P=5mgR等，得：
N=10mg
根据牛顿第三定律，小球对圆弧轨道A点压力 N′=N=10mg，方向垂直水平轨道向下．
（2）如果小球恰好能经过D点，速度为v_D0，则有：
mg=m$\frac{{v}_{D0}^{2}}{R}$                                                    
小球从P运动到D点过程中，根据动能定理得：
-f•2R-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{D0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$                               
小球恰能到达D点所需的弹性势能为：
E_p0=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$           
联立解得：E_p0=3mgR
因为E_P=5mgR＞E_p0，所以小球能过D点，并从D点水平抛出，根据能量转化与守恒定律，得：
E_P=f•2R+mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
从D点平抛后，有：
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v_Dt
解得：x=2$\sqrt{5}$R
答：（1）小球对圆弧轨道A点压力的大小是10mg，方向垂直水平轨道向下；
（2）小球能过D点，小球落在轨道MN上的位置离D点的水平距离是2$\sqrt{5}$R．

点评 本题的关键上要掌握机械能守恒定律、平抛运动基本公式及圆周运动达到最高点的临界条件．要注意小球到达C点临界速度不是零，要由重力等于向心力求出．