Question

核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）．如图5-6-18所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内．设环状磁场的内半径为R₁=0.5m，外半径R₂=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×10⁷C/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度．
求：（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度．
（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度．

Answer 1

分析：（1）粒子若沿径向飞出，临界情况为粒子恰好与外环相切，根据几何关系求出运动的轨道半径，再根据带电粒子在磁场中轨道半径公式求出最大的速度．
（2）粒子沿环状域的内边界圆的切线方向射入磁场时，此时的轨道半径为最小的轨道半径，此时粒子若不能出磁场，则所以粒子都不会出磁场，根据几何关系求出轨道半径，再通过轨道半径公式求出最大的速度．

解答：解：（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场区域的最大速度粒子沿圆弧从B到A，恰与环状域外圆相切，0′为轨道圆心．设AO′=BO′=r，由几何关系（R₂-r）²=r²+R₁²，
又r=

mv

qB

，
可得v=

qB( R 2 2 - R 2 1 )

2R2m

=

q

m

?

B( R 2 2 - R 2 1 )

2R2

=4×107×

1(12-( 1 2 )2)

2×1

m/s=1.5×10⁷m/s
（2）粒子沿环状域的内边界圆的切线方向射入磁场时，轨道半径最大为r_m=

R2-R1

2

，由r_m=

mv

qB

，得
v_m=

qB(R2-R1)

2m

．代入数据得vm=1.0×107m/s
答：（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为1.5×10⁷m/s．
（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度为1.0×10⁷m/s．

点评：本题对数学几何的能力要求较高，关键找出临界的半径，再通过带电粒子在磁场中的半径公式求出临界的速度．