Question

如图，AB为倾角θ＝37°的斜面轨道，轨道的AC部分光滑，CB部分粗糙。BP为圆心角等于143°半径R＝1 m的竖直光滑圆弧形轨道，两轨道相切于B点，P、O两点在同一竖直线上。轻弹簧一端固定在A点，另一自由端在斜面上C点处，现有一质量m＝2 kg的物块在外力作用下将弹簧缓慢压缩到D点后（不拴接）释放，物块经过C点后，从C点运动到B点过程中其位移与时间的关系为x＝12t－4t²（式中x单位是m，t单位是s），且物块恰能到达P点。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g=10 m/s²。

（1）若CD＝1 m，试求物块从D点运动到C点的过程中，弹簧对物块所做的功；

（2）求B、C两点间的距离x。

Answer 1

 (1)由x＝12t－4t²知，物块在C点速度为v₀＝12 m/s                 …………………………①

设物块从D点运动到C点的过程中，弹簧对物块所做的功为W，

由动能定理得：               ………………………………  ②

代入数据得：                                   ……………………………… ③

(2)由知，物块从C运动到B过程中的加速度大小为   ………………④

设物块与斜面间的动摩擦因数为μ，由牛顿第二定律得

            ⑤

代入数据解得

                                     ……………………………… ⑥

物块在P点的速度满足

                           ……………………………… ⑦

物块从B运动到P的过程中机械能守恒，则有

…………………………⑧

                                  ………………………………⑨

物块从C运动到B的过程中有 

                ………………………………⑩

由以上各式解得

                                   ………………………………

（其中①③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式各1分，②式2分，共12分）