Question

12．如图，三个质点a、b、c质量分别为m₁、m₂、M（M?m₁，M?m₂），在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比为r_a：r_b=1：3，则它们的周期之比T_a：T_b=1：$3\sqrt{3}$，从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线有8次．

Answer 1

分析 质点a、b均在c点的万有引力的作用下绕c做圆周运动，由F_引=F_向，可求出周期比，每多转半圈，三质点共线一次，可先求出多转半圈的时间，与总时间相比，得出三点共线次数

解答 解：万有引力提供向心力，则有：G$\frac{M{m}_{1}}{{r}_{a}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{a}^{2}}$m1ra，G$\frac{M{m}_{2}}{{r}_{b}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{b}^{2}}$m2rb；
所以T_a：T_b=1：$3\sqrt{3}$；
设每隔时间t，a、b共线一次，则（ω_a-ω_b）t=π，所以t=$\frac{π}{{ω}_{a}-{ω}_{b}}$；
故b运动一周的过程中，a、b、c共线的次数为：n=$\frac{{T}_{b}}{t}$=Tb（$\frac{2}{{T}_{a}}-\frac{2}{{T}_{b}}$）=8．
故答案为：1：$3\sqrt{3}$，8

点评 本题根据向心力来源列式，即可求出周期之比；第二问中，可以以质点b、c系统为参考系