Question

7．如图所示，质量为m的U型金属框M′MNN′，静放在倾角为θ的粗糙绝缘斜面上，与斜面间的动摩擦因数为μ（μ＜tanθ），且最大静摩擦力等于滑动摩擦力；MM′、NN′边相互平行，相距为L，电阻不计且足够长；底边MN垂直于MM′，电阻为r；光滑导体棒ab电阻为R，垂直于MM′横放在框架上；整个装置处于垂直斜面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中．在沿斜面向上且与ab垂直的拉力作用下，ab沿斜面向上匀速运动．导体棒ab与M′MNN′始终保持良好接触，且重力不计．
（1）若金属框架与斜面的摩擦力为零，则导体棒ab的运动速度为多大？
（2）若金属框架保持静止，则导体棒ab匀速运动的速度大小范围是多少？

Answer 1

分析 （1）金属框架与斜面的摩擦力为零时，MN所受的安培力与重力沿斜面向下的分力平衡，由平衡条件和安培力公式求出感应电流，再由E=BLv和欧姆定律结合求解棒ab的运动速度．
（2）由于μ＜tanθ，则要使金属框架保持静止，分两种情况求解最大速度和最小速度：一是当框架恰好将要沿斜面向上运动时，MN受到的安培力等于框架的重力沿斜面向下与最大静摩擦力之和；一是当框架恰好将要沿斜面向下运动时，MN受到的安培力等于框架的重力沿斜面向下与最大静摩擦力之差．

解答 解：（1）金属框架与斜面的摩擦力为零时，由平衡条件可得：
mgsinθ=F_安；
MN所受的安培力 F_安=BIL，可得：I=$\frac{mgsinθ}{BL}$
ab棒产生的感应电动势为：E=BLv
由欧姆定律得：I=$\frac{E}{R+r}$
联立可解得：v=$\frac{mg（R+r）sinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）当框架恰好将要沿斜面向上运动时，MN受到的安培力等于框架的重力沿斜面向下与最大静摩擦力之和，此时ab棒的速度最大，设为v₁．由平衡条件有：
F_A1=mgsinθ+μmgcosθ
又F_A1=BI₁L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R+r}$
联立解得：v₁=$\frac{mg（sinθ+μcosθ）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
当框架恰好将要沿斜面向下运动时，MN受到的安培力等于框架的重力沿斜面向下与最大静摩擦力之差，此时ab棒的速度最小，设为v₂．则有：
F_A2=mgsinθ-μmgcosθ
又 F_A2=BI₂L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R+r}$
可得：v₂=$\frac{mg（sinθ-μcosθ）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
所以导体棒ab匀速运动的速度大小范围是：$\frac{mg（sinθ-μcosθ）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$≤v≤$\frac{mg（sinθ+μcosθ）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
答：
（1）若金属框架与斜面的摩擦力为零，则导体棒ab的运动速度为$\frac{mg（R+r）sinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）若金属框架保持静止，则导体棒ab匀速运动的速度大小范围是 $\frac{mg（sinθ-μcosθ）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$≤v≤$\frac{mg（sinθ+μcosθ）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

点评 本题是电磁感应中的力学问题，电磁与力联系桥梁是安培力，这种类问题关键在于安培力的分析和计算．