Question

2．如图所示，半径为R的四分之三光滑圆轨道竖直放置，CB是竖直直径，A点与圆心等高，有小球b静止在轨道底部，小球a自轨道上方某一高度处由静止释放自A点与轨道相切进入竖直圆轨道，a，b小球直径相等、质量之比为3：1．两小球在轨道底部发生弹性正碰，后小球b经过c点水平抛出落在离C点水平距离为2$\sqrt{2}$R的地面上，重力加速度为g，小球均可视为质点，求
（1）小球b碰后瞬间的速度；
（2）小球a碰后在轨道中能上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）小球b离开C点后做平抛运动，由高度和水平位移可求出小球b经过C点时的速度，由机械能守恒求小球b碰后瞬间的速度．
（2）根据弹性碰撞遵守的规律：动量守恒和机械能守恒，列式求出碰后a球的速度，再由机械能守恒求小球a碰后在轨道中能上升的最大高度．

解答 解：（1）小球b离开C点后做平抛运动，则有
   2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，2$\sqrt{2}$R=v_Ct
解得 v_C=$\sqrt{2gR}$
b球从B到C，由机械能守恒得：2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{b}^{2}$
解得小球b碰后瞬间的速度 v_b=$\sqrt{6gR}$
（2）设两球碰撞前a球的速度为v₀．
取向左为正方向，对于两球的碰撞过程，由动量守恒和机械能守恒得：
   m_av₀=m_av_a+m_bv_b；
  $\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{a}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{b}{v}_{b}^{2}$
又 m_a=3m_b；
解得 v_a=$\frac{1}{3}$v_b=$\frac{\sqrt{6gR}}{3}$
设小球a碰后在轨道中能上升的最大高度为h，由机械能守恒得
  m_agh=$\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{a}^{2}$
解得  h=$\frac{1}{3}$R
答：
（1）小球b碰后瞬间的速度是$\sqrt{6gR}$；
（2）小球a碰后在轨道中能上升的最大高度是$\frac{1}{3}$R．

点评 解决本题的关键要掌握弹性碰撞所遵守的规律：系统的动量守恒和机械能守恒，再结合机械能守恒、动量守恒和平抛运动的规律解答．