Question

14．21世纪，我国某宇航员登上一半径为R的球状星体，宇航员在该星体上用常规方法就能测量出该星球的质量．在星球表面上，两次用相同的力竖直上抛和平抛同一物体，使两次抛出时的初速度速率相等，用停表测出从竖直上抛到落回抛出点的总时间t₀，再用卷尺测出平抛的水平射程x和下落高度h．已知该星球的半径为R，且物体只受该星球的引力作用．
（1）求该星球表面的重力加速度．
（2）该宇航员如何计算该星球的质量？
（3）如果要在这个星球上发射一颗贴近它表面运行的卫星，求该卫星做匀速圆周运动的线速度和周期．

Answer 1

分析 由平抛运动和竖直上抛运动规律求解重力加速度；
根据在星球表面星球与宇航员的万有引力近似等于宇航员的重力列出等式求解星球的质量；
根据万有引力提供向心力求解线速度和周期．

解答 解：（1）由平抛运动知识得x=v₀t，
h=$\frac{1}{2}$gt²消去t得：g=$\frac{{v}_{0}^{2}}{{x}^{2}}$•2h…①
由竖直上抛运动知识得：v₀=g•$\frac{{t}_{0}}{2}$，
②将②代入①消去v₀得：g=$\frac{{2x}^{2}}{{ht}_{0}^{2}}$
（2）根据在星球表面星球与宇航员的万有引力近似等于宇航员的重力，有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg，
可知：M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$．
该星球的质量为：M=$\frac{{{2x}^{2}R}^{2}}{G{ht}_{0}^{2}}$，
（3）该卫星做匀速圆周运动的线速度为：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\frac{x}{{t}_{0}}$$\sqrt{\frac{2R}{h}}$
周期为：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{{πt}_{0}}{x}$$\sqrt{2hR}$，
答：（1）该星球表面的重力加速度是$\frac{{2x}^{2}}{{ht}_{0}^{2}}$．
（2）该星球的质量是$\frac{{{2x}^{2}R}^{2}}{G{ht}_{0}^{2}}$．
（3）该卫星做匀速圆周运动的线速度是$\frac{x}{{t}_{0}}$$\sqrt{\frac{2R}{h}}$，周期是$\frac{{πt}_{0}}{x}$$\sqrt{2hR}$．

点评 计算星球的质量主要从星球表面重力与万有引力等，或万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力出发计算．