Question

18．两颗人造卫星的质量之比为m₁：m₂=1：2，轨道半径之比为R₁：R₂=3：1，求
（1）两颗人造卫星的线速度之比；
（2）两颗人造卫星的角速度之比；
（3）两颗人造卫星周期之比；
（4）两颗人造卫星的向心力之比．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力求出线速度、向心加速度、周期与轨道半径的关系，从而得出线速度、向心加速度、周期之比．

解答 解：根据万有引力提供向心力得
F=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=$\frac{m{•4π}^{2}r}{{T}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r
（1）v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
轨道半径之比为R₁：R₂=3：1，所以线速度之比v₁：v₂=1：$\sqrt{3}$，
（2）ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，
轨道半径之比为R₁：R₂=3：1，所以ω₁：ω₂=1：3$\sqrt{3}$，
（3）T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，
轨道半径之比为R₁：R₂=3：1，所以T₁：T₂=3$\sqrt{3}$：1，
（4）F=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$，
人造卫星的质量之比为m₁：m₂=1：2，轨道半径之比为R₁：R₂=3：1，
所以向心力之比F₁：F₂=1：18．
答：（1）两颗人造卫星的线速度之比是1：$\sqrt{3}$；
（2）两颗人造卫星的角速度之比是1：3$\sqrt{3}$；
（3）两颗人造卫星周期之比是T₁：T₂=3$\sqrt{3}$：1；
（4）两颗人造卫星的向心力之比是1：18．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论，知道线速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系．