Question

19．物理学家在研究物理问题时，常常抓住问题的主要因素，忽略问题的次要因素，从而抽象出一个物理模型．比如，在高中阶段研究有关弹簧的问题时，由于弹簧本身质量很小，所以将弹簧抽象为质量不计的轻弹簧．为了探讨这种研究问题方法的可行性，我们以下面的问题为例进行探究．如图所示，水平光滑地面 上放有两个滑块A和B，质量分别为m和2m，其中B滑块上安装一只质量很小的轻弹簧，现给A一个初速度，大小为v₀，则：
①在不计弹簧质量的情况下，计算当弹簧压缩最短时，弹簧储存的弹性势能E_p；
②现考虑弹簧质量，设弹簧质量为$\frac{m}{20}$，请重新计算当弹簧压缩最短时，弹簧储存的弹性势能E_p′并计算与①中E_p的比值$\frac{{E}_{p}′}{{E}_{p}}$．

Answer 1

分析 ①当两个滑块速度相等时弹簧压缩量最大，弹性势能最大．滑块A、B系统动量守恒，根据动量守恒定律求解共同速度；根据系统的机械能守恒定律求解弹簧储存的弹性势能E_p；
②现考虑弹簧质量，两个滑块和弹簧组成的系统动量守恒，再由系统的机械能守恒定律求解弹簧储存的弹性势能E_p′，再计算与①中E_p的比值$\frac{{E}_{p}′}{{E}_{p}}$．

解答 解：①在不计弹簧质量的情况下，两个滑块的总动量守恒．当弹簧压缩最短时，两个滑块的速度相等，设为v．取向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀=3mv
由机械能守恒定律得弹簧储存的弹性势能为：
E_p=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$•3mv²
联立解得：E_p=$\frac{1}{3}$mv₀²
②考虑弹簧质量，两个滑块和弹簧组成的系统动量守恒，则有：
mv₀=（3m+$\frac{m}{20}$）v′
由机械能守恒定律得：
E_p′=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$（3m+$\frac{m}{20}$）v′²
解得：E_p′=$\frac{41}{122}$mv₀²
则比值为：$\frac{{E}_{p}′}{{E}_{p}}$=$\frac{123}{122}$
答：①在不计弹簧质量的情况下，当弹簧压缩最短时，弹簧储存的弹性势能E_p是$\frac{1}{3}$mv₀²．
②现考虑弹簧质量，当弹簧压缩最短时，弹簧储存的弹性势能E_p′是$\frac{41}{122}$mv₀²，比值$\frac{{E}_{p}′}{{E}_{p}}$是$\frac{123}{122}$．

点评 本题关键要明确当两个滑块速度相等时弹簧压缩量最大，弹性势能最大；然后根据机械能守恒定律和动量守恒定律列式后联立求解．