Question

【题目】如图，ABD为竖直平面内的轨道，其中AB段是水平粗糙的、BD段为半径R=0.4m的半圆光滑轨道，两段轨道相切于B点．小球甲从C点以速度υ0沿水平轨道向右运动，与静止在B点的小球乙发生弹性碰撞．已知甲、乙两球的质量均为m，小球甲与AB段的动摩擦因数为μ=0.5，C、B距离L=1.6m，g取10m/s2 ． （水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点）

（1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离；
（2）在满足（1）的条件下，求的甲的速度υ0；
（3）若甲仍以速度υ0向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设乙到达最高点的速度为vD，乙离开D点到达水平轨道的时间为t，乙的落点到B点的距离为x，乙恰能通过轨道最高点，则

mg=m …①

乙做平抛运动过程有：

2R= gt2…②

x=vDt…③

联立①②③得：x=0.8 m…④

（2）

解：设碰撞后甲、乙的速度分别为v甲、v乙，取向右为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有

mvB=mv甲+mv乙 …⑤

mvB2= mv甲2+ mv乙2…⑥

联立⑤⑥得：v乙=vB⑦

对乙从B到D，由动能定理得：﹣mg2R= mv02﹣ mv乙2…⑧

联立①⑦⑧得：vB=2 m/s…⑨

甲从C到B，由动能定理有：﹣μmgL= mvB2﹣ mv02⑨

解得：v0=6m/s

（3）

解：设甲的质量为M，碰撞后甲、乙的速度分别为vM、vm，取向右为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有：

MvB=MvM+mvm…⑩

MvB2= MvM2+ mvm2

联立得⑩（11）得：vm=

由M=m和M≥m，可得 vB≤vm＜2vB

设乙球过D点时的速度为vD'，由动能定理得：

﹣mg2R= mv′02﹣ mvm2

联立⑨（13）（14）得：2 m/s≤vD'＜8 m/s

设乙在水平轨道上的落点距B点的距离为x'，有：x'=vD't

联立②（15）（16）得：0.8 m≤x'＜3.2m

【解析】（1）乙恰能通过轨道的最高点D时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求得乙通过D点时的速度，再由平抛运动的规律求乙在轨道上的首次落点到B点的距离；（2）对于甲乙碰撞，根据动量守恒定律和机械能守恒定律可以知道它们交换速度．对乙从B到D，由动能定理求得碰后瞬间乙的速度．对甲从C到B，由动能定理求得速度υ0；（3）根据动量守恒定律和机械能守恒定律得到碰后乙速度的范围，再由平抛运动的规律求得乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围．
【考点精析】本题主要考查了向心力和机械能守恒及其条件的相关知识点，需要掌握向心力总是指向圆心，产生向心加速度，向心力只改变线速度的方向，不改变速度的大小；向心力是根据力的效果命名的.在分析做圆周运动的质点受力情况时，千万不可在物体受力之外再添加一个向心力；在只有重力（和弹簧弹力）做功的情形下，物体动能和重力势能（及弹性势能）发生相互转化，但机械能的总量保持不变才能正确解答此题．