Question

4．设氢原子处于基态时电子的轨道半径为r₁，动能为E_k1，处于第n能级时电子的轨道半径为r_n，动能为E_kn，已知r_n=n²r₁，试用库伦定律和牛顿运动定律证明：E_kn=$\frac{{E}_{k1}}{{n}^{2}}$．

Answer 1

分析 通过电子在轨道上受库仑引力作用做匀速圆周运动，由库仑定律和牛顿第二定律推导出电子的动能大小，从而得知 电子动能与量子数的关系．

解答 证明：电子在轨道上受库仑引力作用做匀速圆周运动，由库仑定律和牛顿第二定律得，
$k\frac{{e}^{2}}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
电子的动能${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{k{e}^{2}}{2r}$∝$\frac{1}{r}$
又已知${r}_{n}={n}^{2}{r}_{1}$
得$\frac{{E}_{kn}}{{E}_{k1}}=\frac{{r}_{1}}{{r}_{n}}=\frac{1}{{n}^{2}}$，
即${E}_{kn}=\frac{{E}_{k1}}{{n}^{2}}$．
证毕．

点评 解决本题的关键知道能级跃迁所满足的规律，以及知道电子在轨道上运动，靠库仑引力提供向心力．