Question

5．河宽d=100m，水流速度υ₁=3m/s，船在静水中的速度是υ₂=4m/s，求：
（1）欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？
（2）欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？

Answer 1

分析 船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短．由矢量合成的平行四边形定则得知小船的合速度，小船实际以合速度做匀速直线运动，进而求得位移的大小；小船以最短距离过河时，则静水中的速度斜着向上游，合速度垂直河岸．

解答 解：设船与岸成θ角向对岸行驶，如图所示，则当船行到对岸时，s₂=$\frac{d}{sinθ}$t
$\frac{{s}_{2}}{{v}_{2}}$=$\frac{d}{{v}_{2}sinθ}$
当sinθ=1时，t最小，即船应沿垂直与河岸的方向渡河．
t_min=$\frac{d}{{v}_{2}}$=$\frac{100}{4}$s=25s；
（2）欲使船航行距离最短，需使船的实际位移（合位移）与河岸垂直，设此时船的开行速度υ₂与岸成ϕ角，如图1-2所示．
则cosϕ=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{3}{4}$，
υ=$\sqrt{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$m/s=$\sqrt{7}$m/s，
t=$\frac{d}{v}$=$\frac{100}{\sqrt{7}}$s=$\frac{100\sqrt{7}}{7}$s
答：（1）欲使船渡河时间最短，船应垂直河岸渡河，最短时间是25s；
（2）欲使船航行距离最短，船的合速度垂直河岸渡河，即与河岸的夹角余弦值为$\frac{3}{4}$，且渡河时间$\frac{100\sqrt{7}}{7}$s．

点评 小船过河问题属于运动的合成问题，要明确分运动的等时性、独立性，运用分解的思想，看过河时间只分析垂直河岸的速度，分析过河位移时，要分析合速度