Question

6．北京获得2022年冬季奥运会举办权，滑雪也是其中的一个比赛项目，如图所示为某室内滑雪场的滑道，AB为倾角θ₁=37°的倾斜滑道，BC为L=4m的水平滑道，CD为半径R=10m、圆心角α=37°的圆弧滑道，DE为倾角θ₂=45°的斜坡滑道，滑道在B点和C点平滑连接．质量m=60kg的滑雪者从h=9m处的P点由静止出发，到达圆弧滑道最高点D时恰好对滑道没有压力水平飞出，在空中飞行一段时间后落在DE滑道上的Q点．已知滑雪者与滑道间的动摩擦因数μ=0.1，不计空气阻力，滑雪者可视作成质点，求（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）滑雪者落点Q与最高点D之间的距离：
（2）滑雪者运动到C点的速度大小；
（3）滑雪者在CD段圆弧克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）滑雪者在最高点D时恰好对滑道没有压力，由重力提供向心力，可求出滑雪者经过D点的速度．根据平抛运动规律和几何关系可求滑雪者落点Q与最高点D之间的距离；
（2）滑雪者从P点运动到C点的过程，运用动能定理可求得滑雪者运动到C点的速度大小；
（3）利用动能定理可求滑雪者在圆弧滑道CD上克服摩擦力所做的功．

解答 解：（1）滑雪者在最高点D时恰好对滑道没有压力，设此时的速度为v，
由牛顿第二定律可得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入数据解得：v=10m/s
设滑雪者落点Q与最高点D之间的距离为x，空中运动时间为t，由平抛运动可知：
在水平方向上：xcosθ₂=vt
在竖直方向上：xsinθ₂=$\frac{1}{2}$gt²
代入数据解得：x=20$\sqrt{2}$m≈28.3 m
（2）设滑雪者在AB滑道克服摩擦力做功W₁，在BC滑道克服摩擦力做功W₂，则：
    W₁=μmgcosθ₁$\frac{h}{sin{θ}_{1}}$=720J
   W₂=μmgL=240J
从P到C的过程，由动能定理得：mgh-W₁-W₂=$\frac{1}{2}$mv_C²-0
解得，滑雪者运动到C点的速度 v_C=2$\sqrt{37}$m/s
（3）设滑雪者在CD段圆弧克服摩擦力所做的功为W₃．
则C到D的过程，由动能定理得：
-mgR（1-cosα）-W₃=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
代入数据解得 W₃=240J
答：
（1）滑雪者落点Q与最高点D之间的距离是28.3m：
（2）滑雪者运动到C点的速度大小是2$\sqrt{37}$m/s；
（3）滑雪者在CD段圆弧克服摩擦力所做的功是240J．

点评 解答此题的关键是分析清楚物体的运动过程，再应用动能定理、牛顿第二定律、平抛运动规律即可求速度、压力、水平位移等．用动能定理解题时一定要注意运过程中有那些力做功，做正功还是做负功．