Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系xOy的平面内，有一个半径为R，圆心O1坐标为（0，﹣3R）的圆形区域，该区域内存在着磁感应强度为B1、方向垂直坐标平面向里的匀强磁场；有一对平行电极板垂直于x轴且关于y轴对称放置，极板AB、CD的长度和两板间距均为2R，极板的两个端点B和D位于x轴上，AB板带正电，CD板带负电。在第一和第二象限内（包括x轴和正y轴上）有垂直于坐标平面向里的磁感应强度为B2（未定知）的匀强磁场。另有一块长为R厚度不计的收集板EF位于x轴上2R～3R的区间上。现有一坐标在（R，﹣3R）的电子源能在坐标平面内向圆形区域磁场内连续不断发射速率均为、方向与y轴正方向夹角为θ（θ可在0～180°内变化）的电子。已知电子的电荷量大小为e，质量为m，不计电子重力作用，不计电子之间的相互作用力，两极板之间的电场看成匀强电场且忽略极板的边缘效应。电子若打在AB极板上则即刻被导走且不改变原电场分布；若电子能经过第一、二象限的磁场后打在收集板上也即刻被吸收（不考虑收集板的存在对电子运动的影响）；若电子没有打在收集板上则不考虑后续的运动。求：

（1）若从θ=60°发射的电子能够经过原点O，则两极板间电压为多大？

（2）要使第（1）问中的电子能被收集板吸收，则B2应为多大？

（3）若B2=B1，两极板间的电压为第（1）问中的电压，要使收集板的右端点F被电子击中，则收集板绕左端点E逆时针旋转的角度至少多大？（答案可用反三角函数表示，例如cosθ=，则θ可表示为arccos）

（4）若B2=B1，两极板间的电压大小可以从0开始调节（两极板极性不变），则从哪些角度发射的电子可击中收集板的右端点F。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）θ≤120°发射的电子可击中收集板的右端点F

【解析】

根据洛伦兹力做向心力求得在圆形磁场区域的轨道半径，即可由几何关系求得进入电场的位置和速度方向；再根据匀变速运动规律求得加速度，即可得到电压；根据电子做匀速圆周运动，由几何关系求得轨道半径范围，即可根据洛伦兹力做向心力求得磁感应强度范围；分析电子运动得到旋转角度最小时对应的情况，然后根据几何关系求解；由几何关系求得不同位置进入y≥0区域的电子的轨道半径，然后根据洛伦兹力做向心力得到速度范围，即可根据电子的竖直分速度不变得到范围，从而得到角度范围。

（1）电子在圆心磁场区域中做匀速圆周运动，速度

洛伦兹力做向心力，故有：

解得轨道半径：

根据几何关系可得：电子离开圆心磁场时的速度方向竖直向上，那么，电子运动到O点的轨迹如图所示：

电子在极板间运动只受电场力作用，故电子做类平抛运动，加速度

竖直位移为2R，水平位移为

故有：2R=v0t，

所以两极板间电压：

（2）由（1）可得：电子在O点时的水平分速度

故设电子在y≥0区域做匀速圆周运动的轨道半径为R2，则由几何关系可得：电子再次经过x轴的坐标

故根据收集板位置，要使第（1）问中的电子能被收集板吸收，则有：；

再根据洛伦兹力做向心力可得：，所以，轨道半径，磁场强度；

所以，；又有，所以，

（3）若B2=B1，则电子在y≥0区域做匀速圆周运动的轨道半径为

以θ=0发射的电子打在收集板右端点F时，收集板绕左端点E逆时针旋转的角度γ最小；此时，电子进入y≥0区域时的速度方向与x轴间的夹角，在x轴上的坐标

设此时F的坐标为（X，Y），则由几何关系可得：，（X﹣2R）2+Y2=R2，；

所以，，， ；

（4）设电子进入y≥0区域时的速度为v，到F的距离为2d，粒子做匀速圆周运动的轨道半径为r；则竖直分量为v0；

由几何关系可得：

根据洛伦兹力做向心力可得：，所以，，故；

故从处离开电场的电子可以击中收集板的右端点F；

又有两极板间的电压大小可以从0开始调节，电子进入电场时的速度竖直向上，在电场中运动向左偏转；所以，离开圆形磁场区域时的x轴坐标在范围内的电阻可以击中收集板的右端点F；根据电阻在圆形磁场区域的轨道半径为R，由几何关系可得：θ≤120°；