Question

7．在如图所示的竖直平面内．水平轨道CD和倾斜轨道GH与半径r=$\frac{9}{44}$ m的光滑圆弧轨道分别相切于D点和G点，GH与水平面的夹角θ=37°．过G点、垂直于纸面的竖直平面左侧有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度B=1.25T；过D点、垂直于纸面的竖直平面右侧有匀强电场，电场方向水平向右，电场强度E=1×10⁴ N/C．小物体P₁ 质量m=2×10^-3 kg、电荷量q=+8×10^-6 C，受到水平向右的推力F=9.98×10^-3 N的作用，沿CD向右做匀速直线运动，到达D点后撤去推力．当P₁ 到达倾斜轨道底端G点时，不带电的小物体P₂ 在GH顶端静止释放，经过时间t=0.1s与P₁ 相遇．P₁ 和P₂ 与轨道CD、GH间的动摩擦因数均为μ=0.5，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，物体电荷量保持不变，不计空气阻力．求：

（1）小物体P₁ 在水平轨道CD上运动速度v的大小；
（2）倾斜轨道GH的长度s．

Answer 1

分析 （1）P₁运动到D点的过程中，对小物体进行正确的受力分析，在水平方向上利用二力平衡可求得小物体P₁在水平轨道CD上运动速度v的大小．
（2）P₁从D点到倾斜轨道底端G点的过程中，电场力和重力做功；P₁在GH上运动过程中，受重力、电场力和摩擦力作用；P₂在GH上运动过程中，受重力和摩擦力作用；对于各物体在各段的运动利用牛顿第二定律和能量的转化与守恒，列式即可解得轨道GH的长度．

解答 解：（1）设小物体P₁在匀强磁场中运动的速度为v，受到向上的洛伦兹力为F₁，受到的摩擦力为f，则：
  F₁=qvB…①
  f=μ（mg-F₁）…②
由题意可得水平方向合力为零，有：
  F-f=0…③
联立①②③式，并代入数据得：v=4m/s；
（2）设P₁在G点的速度大小为v_G，由于洛伦兹力不做功，根据动能定理有：
  qErsinθ-mgr（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{G}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv²…⑤
P₁在GH上运动，受到重力，电场力和摩擦力的作用，设加速度为a₁，根据牛顿第二定律有：
  qEcosθ-mgsinθ-μ（mgcosθ+qEsinθ）=ma₁…⑥
P₁与P₂在GH上相遇时，设P₁在GH上运动的距离为s₁，运动的时间为t，则有：
  s₁=v_Gt+$\frac{1}{2}$a₁t²…⑦
设P₂质量为m₂，在GH上运动的加速度为a₂，则有：
  m₂gsinθ-μm₂gcosθ=m₂a₂…⑧
P₁与P₂在GH上相遇时，设P₂在GH上运动的距离为s₂，则有：
  s₂=$\frac{1}{2}$a₂t²…⑨
联立⑤⑥⑦⑧⑨式，并代入数据得：s=s₁+s₂
可得 s=0.56m
答：
（1）小物体P₁在水平轨道CD上运动速度v的大小为4m/s；
（2）倾斜轨道GH的长度s为0.56m．

点评 解答该题的关键是对这两个物体运动进行分段分析，分析清晰受力情况和各自的运功规律，利用运动定律和能量的转化与守恒定律进行解答；这是一个复合场的问题，要注意对场力的分析，了解洛伦兹力的特点，洛伦兹力不做功；知道电场力做功的特点，解答该题要细心，尤其是在数值计算上．