Question

10．如图所示，两根固定在水平面上的光滑平行金属导轨MN和PQ，一端接有阻值为R的电阻，处于方向竖直向下的匀强磁场中．在导轨上垂直导轨跨放质量为m的金属直杆，金属杆的电阻为r，金属杆与导轨接触良好，导轨足够长且电阻不计．金属杆在垂直于杆的水平恒力F作用下向右匀速运动时，电阻R上的消耗的电功率为P，从某一时刻开始撤去水平恒力F．求撤去水平力后：
（1）当电阻R上消耗的功率为$\frac{P}{4}$时，金属杆的加速度大小和方向．
（2）求撤去F后直至金属杆静止的整个过程中电阻R上产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）撤去拉力后，当电阻R上的电功率为$\frac{P}{4}$时，金属杆所受的安培力提供加速度，写出安培力的表达式与牛顿第二定律的表达式即可求加速度．
（2）根据能量守恒定律和能量的分配关系求解电阻R上产生的焦耳热．

解答 解：（1）当金属杆在水平恒力F作用下向右匀速运动时，拉力的功率等于电路中的电功率，即：
Fv=I²（R+r）
据题有 P=I²R
则得：v=$\frac{（R+r）P}{FR}$
由平衡条件有：F=BIL          
当电阻R上消耗的功率为$\frac{P}{4}$时，有$\frac{P}{4}$=I′²R，
得：I′=$\frac{I}{2}$
此时：F_A′=BI′L=B$\frac{I}{2}$L=$\frac{1}{2}F$
由牛顿第二定律得：F_A′=ma
所以：a=$\frac{F}{2m}$，方向水平向左．
（2）撤去F后直至金属杆静止的整个过程中，回路产生的总的焦耳热为：
Q=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{m（R+r）^{2}{P}^{2}}{2{F}^{2}{R}^{2}}$
则电阻R上产生的焦耳热为：
Q_R=$\frac{m（R+r）{P}^{2}}{2{F}^{2}R}$
答：（1）当电阻R上消耗的功率为$\frac{P}{4}$时，金属杆的加速度大小是$\frac{F}{2m}$，方向水平向左．
（2）撤去F后直至金属杆静止的整个过程中电阻R上产生的焦耳热是$\frac{m（R+r）{P}^{2}}{2{F}^{2}R}$．

点评 本题分析清楚金属杆的运动过程是正确解题的前提与关键；当金属杆受到的安培力与拉力相等时，杆做匀速直线运动，速度达到最大，分别从力和能两个角度进行研究．