Question

3．一根两端开口、粗细均匀的长直玻璃管横截面积为S=2×10^-3m²，竖直插入水面足够宽广的水中，管中有一个质量为m=0.4kg的密闭活塞，封闭一段长度为L₀=66cm的气体，气体温度T₀=300K，如图所示．开始时，活塞处于静止状态，不计活塞与管壁间的摩擦．外界大气压强P₀=1.0×10⁵Pa，水的密度ρ=1.0×10³kg/m³．试问：
（1）开始时封闭气体的压强多大？
（2）现保持管内封闭气体温度不变，用竖直向上的力F缓慢地拉动活塞．当活塞上升到某一位置时停止移动，此时F=6.0N，则这时管内外水面高度差为多少？管内气柱长度多大？
（3）再将活塞固定住，改变管内气体的温度，使管内外水面相平，此时气体的温度是多少？

Answer 1

分析 （1）对活塞进行受力分析，运用平衡知识解决问题．
（2）知道液体压强的公式和应用，根据玻意耳定律列式求解．
（3）根据气体状态方程和已知的变化量去计算其它的物理量．

解答 解：（1）当活塞静止时，
${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{mg}{S}$=$1.0×1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}+\frac{0.4×10}{2×1{0}_{\;}^{-3}}{p}_{a}^{\;}=1.02×1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}$
（2）当F=6.0N时，有
根据活塞受力平衡有：${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{mg-F}{S}$=$1.0×1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}+\frac{0.4×10-6.0}{2×1{0}_{\;}^{-3}}{p}_{a}^{\;}=9.9×1{0}_{\;}^{4}{p}_{a}^{\;}$
${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}-ρgh$
管内外的液面的高度差
$h=\frac{{p}_{0}^{\;}-{p}_{2}^{\;}}{ρg}$=$\frac{1.0×1{0}_{\;}^{5}-9.9×1{0}_{\;}^{4}}{1.0×1{0}_{\;}^{3}×10}m=0.1m$
由玻意耳定律有：${p}_{1}^{\;}{L}_{1}^{\;}S={p}_{2}^{\;}{L}_{2}^{\;}S$
空气柱长度${L}_{2}^{\;}=\frac{{p}_{1}^{\;}}{{p}_{2}^{\;}}{L}_{1}^{\;}$=$\frac{1.02×1{0}_{\;}^{5}}{9.9×1{0}_{\;}^{4}}×66cm=68cm$
（3）${p}_{3}^{\;}={p}_{0}^{\;}=1，0×1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}$     ${L}_{3}^{\;}=68cm+10cm=78cm$      ${T}_{2}^{\;}={T}_{1}^{\;}=300K$
由气态方程：$\frac{{p}_{2}^{\;}{L}_{2}^{\;}S}{{T}_{2}^{\;}}=\frac{{p}_{3}^{\;}{L}_{3}^{\;}}{{T}_{3}^{\;}}$
气体温度为${T}_{3}^{\;}=\frac{{p}_{3}^{\;}{L}_{3}^{\;}}{{p}_{2}^{\;}{L}_{2}^{\;}}{T}_{1}^{\;}$=$\frac{1.0×1{0}_{\;}^{5}×78}{9.9×1{0}_{\;}^{4}×68}×300K=347.6K$
答：（1）开始时封闭气体的压强$1.02×1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}$
（2）现保持管内封闭气体温度不变，用竖直向上的力F缓慢地拉动活塞．当活塞上升到某一位置时停止移动，此时F=6.0N，则这时管内外水面高度差为0.1m，管内气柱长度68cm
（3）再将活塞固定住，改变管内气体的温度，使管内外水面相平，此时气体的温度是347.6k

点评 能用静力学观点确解决问题．要注意研究过程中哪些量不变，哪些量变化．明确初末气体的状态参量，知道气态方程的适用范围．