Question

1．某缓冲装置的理想模型如图所示，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力恒为f．轻杆向右移动不超过L时，装置可安全工作．轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面的摩擦．一质量为m的小车若以速度v撞击弹簧，将导致轻杆向右移动．
（1）若弹簧的劲度系数为k，求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量x
（2）若以速度v₀（已知）撞击，将导致轻杆右移$\frac{L}{4}$，求小车与弹簧分离时速度（k未知）
（3）在（2）问情景下，求为使装置安全工作，允许该小车撞击的最大速度v_m（k未知）

Answer 1

分析 （1）由胡克定律与平衡条件可以求出弹簧的压缩量；
（2）由能量守恒定律可以求出小车的速度；
（3）由牛顿第二定律求出加速度，然后判断运动性质．

解答 解：（1）当弹簧的弹力等于最大静摩擦力时，
轻杆开始移动，由题意知：f=kx，
解得弹簧的压缩量：$x=\frac{f}{k}$
（2）开始压缩到分离，系统能量关系，$\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}mv_1^2=f\frac{L}{4}$
则${v_1}=\sqrt{v_0^2-\frac{fL}{2m}}$
（3）轻杆开始移动后，弹簧压缩量x不再变化，弹性势能一定，
速度v₀时，系统能量关系，$\frac{1}{2}mv_0^2={E_{kp}}+f\frac{L}{4}$
速度最大时v_m时，系统能量关系，$\frac{1}{2}mv_m^2={E_{kp}}+fL$
得$\frac{1}{2}mv_m^2-\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{3}{4}fL$
得：${v_m}=\sqrt{\frac{3fL}{2m}+v_0^2}$
答：（1）若弹簧的劲度系数为k，轻杆开始移动时，弹簧的压缩量是$\frac{f}{k}$；
（2）若以速度v₀（已知）撞击，将导致轻杆右移$\frac{L}{4}$，小车与弹簧分离时速度是$\sqrt{{v}_{0}^{2}-\frac{fL}{2m}}$；
（3）在（2）问情景下，为使装置安全工作，允许该小车撞击的最大速度是$\sqrt{\frac{3fL}{2m}+{v}_{0}^{2}}$．

点评 轻杆在移动的过程中，可以认为轻杆处于平衡状态，由平衡条件可知，弹簧弹力与摩擦力相等，这是正确解题的关键．