Question

（20分）如图甲，在x >0的空间中存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xOy平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m，带电量为q（q>0）的粒子从坐标原点O处，以初速度v₀沿x轴正方向射入，粒子的运动轨迹见图甲，不计粒子的重力。

⑴求该粒子运动到y=h时的速度大小v；

⑵现只改变入射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹（y-x曲线）不同，但具有相同的空间周期性，如图乙所示；同时，这些粒子在y轴方向上的运动（y-t关系）是简谐运动，且都有相同的周期。

Ⅰ．求粒子在一个周期T内，沿x轴方向前进的距离s；

Ⅱ．当入射粒子的初速度大小为v₀时，其y-t图像如图丙所示，求该粒子在y轴方向上做简谐运动的振幅A_y，并写出y-t的函数表达式。

 

Answer 1

（1）（2）Ⅰ．Ⅱ．

解析:（1）由于洛仑兹力不做功，只有电场力做功，由动能定理有

                   ①

由①式解得　v =          ②

（2）Ⅰ．由图乙可知，所有粒子在一个周期T内沿x轴方向前进的距离相同，即都等于恰好沿x轴方向匀速运动的粒子在T时间内前进的距离。设粒子恰好沿x轴方向匀速运动的速度大小为v₁，则

qv₁B = qE                     ③

又　s = v₁T                   ④

式中T =

解得　s =         ⑤

Ⅱ．设粒子在y方向上的最大位移为y_m（图丙曲线的最高处），对应的粒子运动速度大小为v₂（沿x轴），因为粒子在y方向上的运动为简谐运动，因而在y = 0和y = y_m处粒子所受的合外力大小相等，方向相反，则

            ⑥

由动能定理有    ⑦

又　A_y =                             ⑧

由⑥⑦⑧式解得　A_y =

可写出图丙曲线满足的简谐运动y-t函数表达式为y =