Question

13．如图所示，半径为a的圆环电阻不计，放置在垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场中，环内有一导体棒电阻为r，可以绕环匀速转动．将电阻R，开关S连接在环和棒的O端，将电容器极板水平放置，并联在R和开关S两端．
（1）开关S断开，极板间有一带正电q，质量为m的粒子恰好静止，试判断OM的转动方向和角速度的大小．
（2）当S闭合时，该带电粒子以$\frac{1}{4}$g的加速度向下运动，则R是r的几倍？

Answer 1

分析 （1）开关S断开：粒子带正电，且恰好静止，受到的电场力与重力平衡，可判断出电容器极板所带电荷的电性，再由右手定则判断OM转动方向．
粒子受力平衡，由平衡条件列式，得出电容器板间电压U，即等于OM产生的感应电动势，由转动切割的感应电动势公式E=$\frac{1}{2}B{a}^{2}ω$求角速度ω．
（2）开关S闭合：电容器的电压减小，带电粒子所受的电场力减小，向下做匀加速运动，由牛顿第二定律和E=$\frac{U′}{d}$求出此时板间电压U′，再由电路的连接关系求R是r的几倍．

解答 解：（1）由于粒子带正电，恰好静止在电容器中，则电容器上极板带负电，由右手定则判断可知，OM应绕O沿逆时针方向转动．
粒子受力平衡，有mg=q$\frac{U}{d}$
当S断开时，U=E
又OM产生的感应电动势为 E=$\frac{1}{2}B{a}^{2}ω$
解得：ω=$\frac{2mgd}{Bq{a}^{2}}$
（2）当S闭合时，根据牛顿第二定律得：mg-q$\frac{U′}{d}$=m$\frac{g}{4}$
又U′=$\frac{E}{R+r}$R
解得$\frac{R}{r}$=3
答：（1）开关S断开，极板间有一电荷量为q、质量为m的带正电粒子恰好静止，OM的转动方向为逆时针，角速度的大小为$\frac{2mgd}{Bq{a}^{2}}$．
（2）当S闭合时，该带电粒子以$\frac{1}{4}$g的加速度向下运动，则R是r的3倍．

点评 本题是电磁感应中电路问题，关键要掌握转动切割的感应电动势公式 E=$\frac{1}{2}B{a}^{2}ω$及欧姆定律等等基本知识．