Question

如图所示，轻弹簧一端连于固定点O，可在竖直平面内自由转动，另一端连接一带电小球P，其质量m=2×10^-2 kg，电荷量q=0.2 C。将弹簧拉至水平后，以初速度V₀=20 m/s竖直向下射出小球P，小球P到达O点的正下方O₁点时速度恰好水平，其大小V=15 m/s。若O、O₁相距R=1.5 m，小球P在O₁点与另一由细绳悬挂的、不带电的、质量M=1.6×10^-1 kg的静止绝缘小球N相碰。碰后瞬间，小球P脱离弹簧，小球N脱离细绳，同时在空间加上竖直向上的匀强电场E和垂直于纸面的磁感应强度B=1T的弱强磁场。此后，小球P在竖直平面内做半径r=0.5 m的圆周运动。小球P、N均可视为质点，小球P的电荷量保持不变，不计空气阻力，取g=10 m/s²。那么
（1）弹簧从水平摆至竖直位置的过程中，其弹力做功为多少？
（2）请通过计算并比较相关物理量，判断小球P、N碰撞后能否在某一时刻具有相同的速度。
（3）若题中各量为变量，在保证小球P、N碰撞后某一时刻具有相同速度的前提下，请推导出r的表达式（要求用B、q、m、θ表示，其中θ为小球N的运动速度与水平方向的夹角）。

Answer 1

解：（1）设弹簧的弹力做功为W，有：　①
代入数据得：W＝-2.05J　②
（2）由题给条件知，N碰后作平抛运动，P所受电场力和重力平衡，P带正电荷。设P、N碰后的速度大小分别为v₁和V，并令水平向右为正方向，有 ③
而 ④
若P、N碰后速度同向时，计算可得V＜v₁，这种碰撞不能实现。P、N碰后瞬时必为反向运动。有： ⑤
P、N速度相同时，N经过的时间为t_N，P经过的时间为t_P。设此时N的速度V₁的方向与水平方向的夹角为θ，有： ⑥
 ⑦
代入数据，得： ⑧
对小球P，其圆周运动的周期为T，有： ⑨
经计算得：t_N＜T
P经过t_P时，对应的圆心角为α，有： ⑩
当B的方向垂直纸面朝外时，P、N的速度相同，如图可知，有：

联立相关方程得：
比较得，，在此情况下，P、N的速度在同一时刻不可能相同
当B的方向垂直纸面朝里时，P、N的速度相同，同样由图，有：

同上得：
比较得，，在此情况下，P、N的速度在同一时刻也不可能相同
（3）当B的方向垂直纸面朝外时，设在t时刻P、N的速度相同，
再联立④⑦⑨⑩解得：
当B的方向垂直纸面朝里时，设在t时刻P、N的速度相同，
同理得：
考虑圆周运动的周期性，有（给定的B、q、r、m、θ等物理量决定n的取值）