Question

20．如图1，在水平地面上固定一倾角为θ的光滑绝缘斜面，斜面处于电场强度大小为E、方向沿斜面向下的匀强电场中．一劲度系数为k的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面底端，整根弹簧处于自然状态．一质量为m、带电量为q（q＞0）的滑块从距离弹簧上端为s₀处静止释放，滑块在运动过程中电量保持不变，设滑块与弹簧接触过程没有机械能损失，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度大小为g．

（1）求滑块从静止释放到与弹簧上端接触瞬间所经历的时间t₁；
（2）若滑块在沿斜面向下运动的整个过程中最大速度大小为v_m，求滑块从静止释放到速度大小为v_m的过程中弹簧的弹力所做的功W；（不可用弹性势能表达式计算）
（3）从滑块静止释放瞬间开始计时，请在图2中画出滑块在沿斜面向下运动的整个过程中速度与时间关系v-t图象．图中横坐标轴上的t₁、t₂及t₃分别表示滑块第一次与弹簧上端接触、第一次速度达到最大值及第一次速度减为零的时刻，纵坐标轴上的v₁为滑块在t₁时刻的速度大小，v_m是题中所指的物理量．（本小题不要求写出计算过程）

Answer 1

分析 （1）滑块从静止释放到与弹簧接触的过程做匀加速运动，欲求时间，应该用匀变速直线运动规律公式中位移和时间的关系式．当然需用牛顿第二定律解决加速度问题．
（2）接触弹簧后随着弹簧弹力的逐渐增大，滑块的加速度逐渐减小，当加速度等于零时它的速度最大，此时合力等于零．可求出弹簧缩短的距离．再由动能定理求出弹簧做的功．
（3）绘出整个过程中的v-t图象需要区别匀变速和非匀变速的过程，在非匀变速过程中要根据加速度大小的变化绘出曲线的斜率．

解答 解：（1）滑块从静止释放到与弹簧刚接触的过程中做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度大小为a，则有
   qE+mgsinθ=ma…①
   s₀=$\frac{1}{2}$at^2…②
联立①②可得  t₁=$\sqrt{\frac{2m{s}_{0}}{qE+mgsinθ}}$…③
（2）滑块速度最大时受力平衡，设此时弹簧压缩量为x₀，则有
   mgsinθ+qE=kx₀…④
从静止释放到速度达到最大的过程中，由动能定理得
（mgsinθ+qE）•（s₀+x₀）+W=$\frac{1}{2}$mv_m²-0…⑤
联立④⑤可得 W=$\frac{1}{2}$mv_m²-（mgsinθ+qE）•（s₀+$\frac{mgsinθ+qE}{k}$）
（3）假设t₁时刻速度为v₁，这段时间内匀加速运动我们描点用刻度尺连线即可；
设t₂时刻速度达到最大，t₁到t₂时刻物体做加速度减小的加速运动，画一段斜率逐渐减小的平滑曲线即可．
设第一次速度为零的时刻为t₃，t₂到t₃时间内物体做加速度增大的减速运动，画一段斜率逐渐增大的平滑曲线即可，
如图所示：

答：
（1）滑块从静止释放到与弹簧上端接触瞬间所经历的时间t₁是$\sqrt{\frac{2m{s}_{0}}{qE+mgsinθ}}$．
（2）弹簧的弹力所做的功W是$\frac{1}{2}$mv_m²-（mgsinθ+qE）•（s₀+$\frac{mgsinθ+qE}{k}$）．
（3）如图所示．

点评 本题考查有变力做功时动能定律的应用，以及匀变速直线运动规律的综合应用．第二问的关键是正确写出动能定理方程．第三问画图象更是要弄清楚曲线的斜率．