Question

（15分）如图所示，质量M =" 4.0" kg的长木板B静止在光滑的水平地面上，在其右端放一质量m =" 1.0" kg的小滑块A（可视为质点）。初始时刻，A、B分别以v₀ = 2.0m/s向左、向右运动，最后A恰好没有滑离B板。已知A、B之间的动摩擦因数μ = 0.40，取g =10m/s²。求：

⑴A、B相对运动时的加速度a_A和a_B的大小与方向；
⑵A相对地面速度为零时，B相对地面运动已发生的位移x；
⑶木板B的长度l。

Answer 1

（1）a_A= 4.0m/s² 方向水平向右    a_B=1.0m/s²  方向水平向左（2）x = v₀t-a_Bt² = 0.875m（3）1.6m

试题分析：⑴A、B分别受到大小为μmg的力的作用，根据牛顿第二定律
对A物体：μmg = ma_A          1分
则a_A =" μg" = 4.0m/s²         1分
方向水平向右          1分
对B物体：μmg = Ma_B               1分
则a_B ="μmg" /M = 1.0m/s²                1分
方向水平向左                      1分
⑵开始阶段A相对地面向左做匀减速运动，速度为0的过程中所用时间为t₁，则
v₀ = a_At₁，则t₁ = v₀/a_A = 0.50s         1分
B相对地面向右做减速运动x = v₀t-a_Bt² = 0.875m       1分
⑶A向左匀减速运动至速度为零后，相对地面向右做匀加速运动，
加速度大小仍为a_A = 4.0m/s²；
B板向右仍做匀减速运动，
加速度大小仍a_B = 1.0m/s²；        1分
当A、B速度相等时，A相对B滑到最左端，恰好不滑出木板，
故木板B的长度为这个全过程中A、B间的相对位移；       1分
在A相对地面速度为零时，B的速度v_B = v₀ – a_Bt₁ =" 1.5m/s"        1分
设由A速度为零至A、B相等所用时间为t₂，则 a_At₂ = v_B – a_Bt₂，
解得t₂ = v_B/(a_A + a_B) = 0.3s；
共同速度v = a_At₂ =" 1.2m/s"          1分
A向左运动位移x_A = (v₀－ v)(t₁ + t₂)/2 =" (2" – 1.2)(0.5 + 0.3)/2 m = 0.32m      1分
B向右运动位移x_B = (v₀+ v) (t₁ + t₂)/2 =" (2" + 1.2)(0.5 + 0.3)/2 m 1.28m       1分
B板的长度l = x_A + x_B = 1.6m       1分
（其他：能量守恒定律μmgl=(M + m)v₀²–(M + m)v²，代入数据解得l = 1.6m图像解法l==1.6m或其他解法正确皆可）
本题是木块在木板滑动的类型，运用牛顿第二定律、运动学、动量守恒和能量守恒结合求解比较简便，也可以采用图象法求解．