Question

1．图（甲）为小型旋转电枢式交流发电机的原理图，其矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴OO′匀速转动，线圈的匝数n=100、电阻r=10Ω，线圈的两端经集流环与电阻R连接，电阻R=90Ω，与R并联的交流电压表为理想电表．在t=0时刻，线圈平面与磁场方向平行，穿过每匝线圈的磁通量Φ随时间t按图17（乙）所示正弦规律变化．求：
（1）交流发电机产生的电动势的最大值；
（2）写出感应电流随时间变化的函数表达式；
（3）交流电压表的示数；
（4）线圈从图示位置转动90°过程中通过电阻R的电量．
（5）1min时间内外力对线框所做的功．

Answer 1

分析 （1）根据电动势最大值的表达式，结合磁通量的最大值，求出电动势的最大值；
（2）根据开始时的电动势明确其函数关系，则可明确表达式；
（3）根据最大值确定有效值；
（4）根据法拉第电磁感应定律，结合磁通量的变化量求出通过电阻R的电量．
（5）根据能量守恒定律及焦耳定律可求得外力所做的功．

解答 解：（1）交流发电机产生电动势的最大值E_m=nBSω，
因为磁通量的最大值Φ_m=BS=2×10^-2Wb，
$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{6.28×1{0}^{-2}}=100rad/s$，
则电动势的最大值${E}_{m}=nBSω=100×2×1{0}^{-2}×100$V=200V；
（2）开始时磁通量最小，则电动势最大；故表达式e=E_mcosωt=200cos100t；
（3）电动势的有效值：E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$=$\frac{200}{\sqrt{2}}$=100$\sqrt{2}$V，
电压表示数为：U=IR=$\frac{E}{r+R}$•R=$\frac{100\sqrt{2}}{10+90}$×90=90$\sqrt{2}$≈127V；
（4）根据$q=n\frac{△Φ}{{R}_{总}}$得，q=$100×\frac{2×1{0}^{-2}}{90+10}C=0.02C$．
（5）线圈匀速转动一周的过程中，外力所做的功：
W_外=Q_总=I²（R+r）t=1.4²×（90+10）×60=11760J
答：（1）交流发电机产生的电动势的最大值为200V；
（2）感应电流随时间变化的函数表达式为e=200cos100t；
（3）交流电压表的示数为127V
（4）线圈从图示位置转动90°过程中通过电阻R的电量为0.02C．
（5）1min时间内外力对线框所做的功为11760J

点评 解决本题的关键知道正弦式交流电峰值的表达式E_m=nBSω，以及知道峰值、有效值、平均值和瞬时值的区别．