Question

16．如图所示，BCPC′D是螺旋轨道，半径为R的圆O与半径为2R的BCD圆弧相切于最低点C，与水平面夹角都是37°的倾斜轨道AB、ED分别与BC、C′D圆弧相切于B、D点（C、C′均为竖直圆的最底点），将一劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定在AB轨道的有孔固定板上，平行于斜面的细线穿过有孔固定板和弹簧跨过定滑轮将小球和大球连接，小球与弹簧接触但不相连，小球质量为m，大球质量为$\frac{6}{5}$m，ED轨道上固定一同样轻质弹簧，弹簧下端与D点距离为L₂，初始两球静止，小球与B点的距离是L₁，L₁＞L₂，现小球与细线突然断开．一切摩擦不计，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8．

（1）细线刚断时，小球的加速度大小；
（2）小球恰好能完成竖直圆周运动这种情况下，小球过C点前后瞬间有压力突变，求压力改变量为多少？
（3）小球冲上左侧轨道获得与初始线断相同的加速度时，小球的速度．

Answer 1

分析 （1）细线刚断时，小球的加速度大小根据牛顿第二定律求解；
（2）小球在经过C点时，在C点左右两边相当于分别在两个圆周上过最低点，根据重力和轨道的支持力的合力提供向心力，列式得到压力改变量与速度的关系式；小球恰好能完成竖直圆周运动时，在最高点由重力提供向心力，根据牛顿第二定律可求得最高点小球的速度．小球从最低点到最高点的过程中，机械能守恒，列出方程，联立即可求解．
（3）当小球能过顶，小球滑上左侧斜面轨道，压缩弹簧获得与初始线断时相同大小的加速度时，弹簧弹力为F_N=$\frac{6}{5}$mg-mgsin37°，弹簧压缩量与右侧初始弹簧压缩量相同，则弹簧的弹性势能相等，整个过程机械能守恒，列式即可求解小球的速度．

解答 解：（1）线未断时，弹簧对小球m的弹力大小 ${F_N}=\frac{6}{5}mg-mgsin37°$
细线刚断时，小球的加速度$a=\frac{{{F_N}+mgsin37°}}{m}=\frac{{\frac{6}{5}mg}}{m}=\frac{6}{5}g$
（2）小球在经过C点时，在C点左右两边相当于分别在两个圆周上过最低点，
在右边：轨道对小球的支持力 F_N1=F_n1+mg
得：${F_{N1}}=m\frac{v^2}{R_1}+mg$
在左边：轨道对小球的支持力 F_N2=F_n2+mg
得：${F_{N2}}=m\frac{v^2}{R_2}+mg$
则小球对轨道的压力之差为：$△F={F_2}-{F_1}=m\frac{v^2}{R_2}-m\frac{v^2}{R_1}$
又 R₁=2R，R₂=R，
解得：$△F=m\frac{v^2}{2R}$
又小球从C点到P点过程中，机械能守恒，则得：$\frac{1}{2}m{v^2}-2mgR=\frac{1}{2}mv_0^2$
在最高点P时，由重力提供向心力，则有：$mg=m\frac{v_0^2}{R}$
联立解得：$△F=\frac{5}{2}mg$
（3）当小球能过顶，则小球滑上左侧斜面轨道，压缩弹簧获得与初始线断时相同大小的加速度时，弹簧弹力为${F_N}=\frac{6}{5}mg-mgsin37°=\frac{3}{5}mg$
即弹簧压缩量与右侧初始弹簧压缩量相同，均为$x=\frac{3mg}{5k}$
则弹簧的弹性势能相等，整个过程机械能守恒：
$mg{L_1}sin37°-mg（{L_2}+\frac{3mg}{5k}）sin37°=\frac{1}{2}mv_2^2$
解得：v₂=$\frac{6}{5}g（{L_1}-{L_2}-\frac{3mg}{5k}）$
答：（1）细线刚断时，小球的加速度大小为$\frac{6}{5}$g；
（2）压力改变量为 $\frac{5}{2}$mg；
（3）小球冲上左侧轨道获得与初始线断相同的加速度时，小球的速度为$\frac{6}{5}g（{L_1}-{L_2}-\frac{3mg}{5k}）$．

点评 本题是复杂的力学问题，对于圆周运动，分析向心力的来源是关键，对于小球运动过程之中，要抓住机械能守恒，要具有解决综合问题的能力，需要加强这方面的练习．