Question

12．如图所示，质量为M的电梯底板上放置一质量为m的物体，钢索拉着电梯由静止开始向上做加速运动，当上升高度为H时，速度达到v，不计空气阻力，则（　　）

• A． 物体所受合力做的功等于$\frac{1}{2}$mv²+mgH
• B． 底板对物体的支持力做的功等于mgH+$\frac{1}{2}$mv²
• C． 钢索的拉力做的功等于$\frac{1}{2}$Mv²+MgH
• D． 钢索的拉力、电梯的重力及物体对底板的压力对电梯M做的总功等于$\frac{1}{2}$Mv²

Answer 1

分析 对物体应用动能定理即可求解物体所受合力做的功，根据电梯的运动情况，可以求得电梯的加速度的大小，再有牛顿第二定律可以求得电梯对物体的支持力的大小，从而可以求得功的大小．

解答 解：A、对物体应用动能定理得：合力对物体做的功W=$\frac{1}{2}$mv²，故A错误；
B、电梯由静止开始向上做加速运动，设加速度的大小为a，
由速度和位移的关系式可得，v²=2aH，
所以a=$\frac{{v}^{2}}{2H}$，
对电梯由牛顿第二定律可得，
 F_N-mg=ma，
所以 F_N=mg+ma=mg+m$\frac{{v}^{2}}{H}$，
地板对物体的支持力做的功为W=F_NH=（mg+ma）H=mgH+$\frac{1}{2}$mv²，所以B正确．
C、对于整体由牛顿第二定律可得，
F-（M+m）g=（M+m）a，
所以钢索的拉力为F=（M+m）g+（M+m）a，
钢索的拉力做的功等于FH=（M+m）gH+$\frac{1}{2}$（M+m）v²，所以C错误．
D、根据动能定理可得，合力对电梯M做的功等于电梯的动能的变化即为$\frac{1}{2}$Mv²，则钢索的拉力、电梯的重力及物体对底板的压力对电梯M做的总功等于$\frac{1}{2}$Mv²，所以D正确．
故选：BD．

点评 解决本题的关键是对物体的受力分析，再根据功的公式可以逐个来求得每个力的功，知道合力做功等于动能的变化量，难度适中．