Question

11．预警雷达探测到敌机在20000m上空水平匀速飞行，立即启动质量m=100kg的防空导弹，导弹的火箭发动机在制导系统控制下竖直向下喷气，使导弹由静止以a=10g（g=10m/s²）的加速度竖直向上匀加速上升至5000m高空，喷气方向立即变为与竖直方向成θ角（cosθ=$\frac{1}{11}$）斜向下，导弹做曲线运动，直至击中敌机．假设导弹飞行过程中火箭推力大小恒定，且不考虑导弹质量变化及空气阻力，导弹可视为质点．试求：
（1）火箭喷气产生的推力；
（2）导弹从发射到击中敌机所用的时间；
（3）导弹击中敌机时的动能．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求火箭喷气产生的推力．
（2）导弹先竖直向上做匀加速运动，由位移公式求出此过程的时间．喷气方向变为与竖直方向成θ角（cosθ=$\frac{1}{11}$）斜向下后导弹做曲线运动，由于Fcosθ=mg，说明导弹竖直方向做匀速直线运动，再求出匀速运动的时间，从而得到总时间．
（3）在升至5000m高空后，导弹在竖直方向做匀速运动，水平方向做匀加速运动，由牛顿第二定律和速度公式结合求出导弹击中敌机时水平分速度，再求得导弹击中敌机时动能．

解答 解：（1）对导弹，由牛顿第二定律得
  F-mg=ma
解得火箭喷气产生的推力 F=m（g+a）=100×（10+100）N=11mg=1.1×10⁴N
（2）导弹竖直向上做匀加速直线运动的过程，有
  $\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=h₁，得 t₁=$\sqrt{\frac{2{h}_{1}}{a}}$=$\sqrt{\frac{2×5000}{10×10}}$s=10s
推力改变方向后，由于 Fcosθ=11mg×$\frac{1}{11}$=mg
所以导弹在竖直方向上作匀速运动，运动时间为 t₂=$\frac{H-{h}_{1}}{{v}_{y}}$
又 v_y=at₁=100×10=1000m/s，H=20000m
联立解得 t₂=15s
故t_总=t₁+t₂=25s
（3）在5000m高处之后，导弹在竖直方向作匀速运动，水平方向作匀加速运动，则水平方向有
  Fsinθ=ma_x，sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{2\sqrt{30}}{11}$
解得 a_x=$\frac{11mg×\frac{2\sqrt{30}}{11}}{m}$=20$\sqrt{30}$m/s²；
导弹击中飞机时水平分速度为 v_x=a_xt₂=300$\sqrt{30}$m/s
则导弹击中飞机时的动能为 E_k=$\frac{1}{2}m（{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}）$=1.85×10⁸J
答：
（1）火箭喷气产生的推力是1.1×10⁴N；
（2）导弹从发射到击中敌机所用的时间是25s；
（3）导弹击中敌机时的动能是1.85×10⁸J．

点评 本题是实际问题，关键要建立物理模型，简化过程，运用运动的分解法研究曲线运动．