Question

7．如图所示，小型工件P以速率v₁在光滑水平工作台上滑行，水平传送带AB段的长为L，以速度v₂运行，工件P从A处滑上传送带，与传送带间的动摩擦因数为μ，在达到B点之前已经与传送带保持相对静止，请就工件速率v₁和传送带的速度v₂的大小关系提出假设，并得出相应的工件P在传送带上由A运动到B所有的时间．

Answer 1

分析 当v₁=v₂时，工件一直做匀速直线运动，当v₁＜v₂时，物体先匀加速至v₂，以后再做匀速运动，当v₁＞v₂时，物体先匀减速至v₂，以后再做匀速运动，根据运动学基本公式即可求解．

解答 解：（1）当v₁=v₂时，工件一直做匀速直线运动，工件P在传送带上由A运动到B所有的时间  t=$\frac{L}{{v}_{1}}$=$\frac{L}{{v}_{2}}$；
（2）当v₁＜v₂时，物体先匀加速至v₂，以后再做匀速运动．
匀加速运动的加速度为 a=$\frac{μmg}{m}$=μg
匀加速运动的时间 t₁=$\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{a}$=$\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{μg}$，位移 x₁=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{（{v}_{2}-{v}_{1}）^{2}}{2μg}$
匀速运动的时间 t₂=$\frac{L-{x}_{1}}{{v}_{2}}$
总时间 t=t₁+t₂．
联立解得 t=$\frac{L}{{v}_{2}}$+$\frac{（{v}_{2}-{v}_{1}）^{2}}{2μg{v}_{2}}$
（3）当v₁＞v₂时，物体先匀减速至v₂，以后再做匀速运动．
匀减速运动的加速度大小为 a=$\frac{μmg}{m}$=μg
匀减速运动的时间 t₁=$\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{μg}$，位移 x₁=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{（{v}_{2}-{v}_{1}）^{2}}{2μg}$
匀速运动的时间 t₂=$\frac{L-{x}_{1}}{{v}_{2}}$
总时间 t=t₁+t₂．
联立解得 t=$\frac{L}{{v}_{2}}$-$\frac{（{v}_{2}-{v}_{1}）^{2}}{2μg{v}_{2}}$．
答：
当v₁=v₂时，时间t为$\frac{L}{{v}_{1}}$或$\frac{L}{{v}_{2}}$；当v₁＜v₂时，时间t为$\frac{L}{{v}_{2}}$+$\frac{（{v}_{2}-{v}_{1}）^{2}}{2μg{v}_{2}}$；当v₁＞v₂时，时间t为$\frac{L}{{v}_{2}}$-$\frac{（{v}_{2}-{v}_{1}）^{2}}{2μg{v}_{2}}$．

点评 本题是传送带问题，分析清楚工件的运动过程，应用牛顿第二定律、匀变速直线运动的运动规律与匀速直线运动的速度公式即可正确解题．