Question

7．日常生活中，我们有时要用同样长的两根绳子挂一个物体，如图1所示，如果绳子的最大拉力为F，物体受到的重力为G，你能否用向量的知识，分析绳子受到的拉力F₁的大小与两绳子之间的夹角θ的关系．
（1）当θ逐渐增大时|F₁|的大小怎样变化，为什么？
（2）θ为何值时，|F₁|最小，最小是多少？
（3）θ=120°时，求|F₁|；
（4）如果绳子能承受的最大拉力为588N，|G|=882N，那么θ在什么范围内取值时，绳子才不会断？
（参考数据：取cos41°≈0.75，cos82°≈0.125）

Answer 1

分析 熟悉力的合成以及平行四边形定则，利用数学三角函数的关系找出拉力大小|F₁|与重力G的关系进行解答．

解答 解：对物体受力分析如右图所示，由于两根绳子同样长，故F₁=F₂，拉力F₁的大小为|F₁|
（1）由共点力平衡关系可知，|F₁|的合力F=G
根据三角函数关系可得，|F₁|=$\frac{\frac{G}{2}}{cos\frac{θ}{2}}$
而θ的变化范围是0°≤θ≤180°，故$0°≤\frac{θ}{2}≤90°$
θ逐渐增大时，cos$\frac{θ}{2}$逐渐减小，|F₁|将逐渐增大
故当θ逐渐增大时，|F₁|的大小随θ的增大而增大．
（2）由|F₁|=$\frac{\frac{G}{2}}{cos\frac{θ}{2}}$知，cos$\frac{θ}{2}$取最大值时，此时|F₁|最小
cos$\frac{θ}{2}$最大可以取1，此时θ为0°，这时|F₁|最小为$\frac{G}{2}$．
（3）将θ=120°代入公式|F₁|=$\frac{\frac{G}{2}}{cos\frac{θ}{2}}$
 可得，|F₁|=G．
（4）由|F₁|=$\frac{\frac{G}{2}}{cos\frac{θ}{2}}$知，
$cos\frac{θ}{2}=\frac{\frac{G}{2}}{{F}_{1}}$$cos\frac{θ}{2}=\frac{\frac{1}{2}G}{|{F}_{1}|}$，将|F₁|=588N，|G|=822N代入，此时θ取最大值
可得cos$\frac{θ}{2}$=0.75，则$\frac{θ}{2}=41°$，故θ最大值为82°
故0°≤θ≤82°范围内，绳子才不会断．

点评 题目难度不大，关键在于找出绳子拉力|F₁|与物体重力G的关系，利用有关数学三角函数关系进行分析．对有关三角函数关系要熟悉