Question

14．如图所示，带电平行金属板相距为2R，在两板间半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，两板及其左侧边缘连线均与磁场边界刚好相切．一质子（不计重力）沿两板间中心线O₁O₂从左侧O₁点以某一速度射入，沿直线通过圆形磁场区域，然后恰好从极板边缘飞出，在极板间运动时间为t₀．若仅撤去磁场，质子仍从O₁点以相同速度射入，经1.40时间打到极板上．求：
（1）求两极板间电压U；
（2）求质子从极板间飞出时的速度大小；
（3）若两极板不带电，保持磁场不变，质子仍沿中心线O₁O₂从O₁点射入，欲使质子从两板左侧间飞出，射入的速度应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）粒子做匀速直线运动，由受力平衡条件，通过运动学公式与牛顿第二定律，结合电场力与洛伦兹力表达式，即可求解；
（2）由速度与时间关系，可求质子在沿电场方向的速度，因此可求出飞出极板间的速度大小；
（3）质子恰好从上极板左边缘飞出，因此由几何关系，结合运动学公式与向心力表达式，从而可求出质子两板左侧间飞出的条件．

解答 解：（1）设质子从左侧O₁点射入的速度为v₀，极板长为L
在复合场中作匀速运动：$q\frac{U}{2R}=q{v_0}B$ ①
在电场中作类平抛运动，则有：
 L-2R=v₀t  ②
 $R=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t^2}$ ③
 L=v₀t₀ ④
$R=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{（\frac{t_0}{2}）^2}$⑤
解得  $t=\frac{t_0}{2}$，L=4R，${v_0}=\frac{4R}{t_0}$，$U=\frac{{8{R^2}B}}{t_0}$ ⑥
（2）质子从极板间飞出时的沿电场方向分速度大小 v_y=$\frac{qE}{m}t$=$\frac{2R}{t}$=v₀ ⑦
从极板间飞出时的速度大小$v=\sqrt{v_0^2+v_y^2}=\sqrt{2}{v_0}$=$\frac{{4\sqrt{2}R}}{t_0}$ ⑧
（3）设质子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r，质子恰好从上极板左边缘飞出时速度的偏转角为α，由几何关系可知：
  β=π-α=45°，r+$\sqrt{2}$r=R  ⑨
因为$R=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{（\frac{t_0}{2}）^2}$，所以 $\frac{qE}{m}=\frac{{q{v_0}B}}{m}=\frac{8R}{t_0^2}$ ⑩
根据向心力公式 $qvB=m\frac{v^2}{r}$，解得 v=$\frac{{2（{\sqrt{2}-1}）R}}{t_0}$（11）
所以，质子两板左侧间飞出的条件为 $0＜v＜\frac{{2（\sqrt{2}-1）R}}{t_0}$（12）
答：（1）两极板间电压U是$\frac{8{R}^{2}B}{{t}_{0}}$；（2）质子从极板间飞出时的速度大小为$\frac{{4\sqrt{2}R}}{t_0}$；（3）射入的速度应满足的条件为 $0＜v＜\frac{{2（\sqrt{2}-1）R}}{t_0}$．

点评 考查粒子做匀速直线运动、类平抛运动与匀速圆周运动的处理方法，掌握运动学公式与牛顿第二定律的综合应用，理解几何关系的正确使用．