Question

在光滑水平上，放置一个质量为M、截面是圆(半径为R)的柱体A(如图)柱面光滑，顶端放一质量为m的小滑块B，初始时刻A、B都处于静止状态.在固定坐标系中(xOy)如图所示，设小滑块从圆柱顶端沿圆弧滑下，证明小滑块脱离圆弧以前在固定坐标系xOy中的轨迹为椭圆的一部分.

 

Answer 1

答案：
解析：

要证明小滑块m在离开柱体以前的轨迹为椭圆的一部分，必须求出滑块m的坐标方程.小滑块向右滑动的同时柱体向左滑动，系统水平向上动量守恒. 设下滑到某处时B的坐标为(x，y)，A的圆心C坐标为(x′，0).如图所示，A、B沿水平方向的速度分别是v′和v，则由水平方向的动量守恒可得 mv+Mv′=0   　　　　　　    ① 此时B、C的水平坐标分别为x和x′，由于两物体的水平速率之比在任何时刻都相同，所以其水平方向的位移之比等于速率之比，从而 mx+Mx′=0   　　　　　　    ② 在A脱离B之前，由几何关系可知 　　　　 ③ 消去θ及x′，得B在脱离A之前的轨迹方程为 显然，B的轨迹是半长轴为R(在y方向)、半短轴为(在x方向)的椭圆的一部分.