Question

4．如图所示，在倾角为θ的斜面顶端A处以速度v₀水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计．求：
（1）小球从A运动到B所需要的时间落到B点的速度大小及A、B间的距离．
（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？这个最大距离是多少？

Answer 1

分析 （1）小球做平抛运动，由题意知竖直位移与水平位移之比等于tanθ，根据平抛运动的分位移关系列式求解即可时间，再由速度的合成求解B点的速度大小．可进一步求出A、B间的距离．
（2）将小球的运动沿着平行斜面和垂直斜面方向正交分解，垂直斜面方向做匀减速直线运动，当垂直斜面方向分速度为零时小球离斜面的距离达到最大；根据分运动公式列式求解．

解答 解：（1）设小球从A运动到B处所需的时间为t，小球做平抛运动，则：
水平位移为：x=v₀t
竖直位移为：y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
根据题意和数学关系可知合位移与水平位移的夹角即为θ，则有：
 tan θ=$\frac{y}{x}$
联立以上三式解得：t=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$．
落到B点的速度大小 v_B=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+（gt）^{2}}$=v₀$\sqrt{1+4ta{n}^{2}θ}$
A、B间的距离 S=$\frac{{v}_{0}t}{cosθ}$=$\frac{2{v}_{0}^{2}tanθ}{gcosθ}$．
（2）当小球垂直斜面向上的分速度为零时，离斜面的距离最大，此时小球的速度与斜面平行．
设小球从抛出开始计时，经时间t₁小球离斜面的距离达到最大，如图甲所示，则有：
  v_y=gt₁=v₀tan θ
解得：t₁=$\frac{{v}_{0}tanθ}{g}$
如图乙所示，将小球的运动分解为沿斜面和垂直于斜面两个方向分运动，建立如图所示的坐标系，小球在y轴方向做匀减速运动，初速度为 v_y0=v₀sinθ，加速度为：a_y=-gcosθ
小球离斜面的最大距离 h_max=$\frac{0-{v}_{y0}^{2}}{2{a}_{y}}$=$\frac{-（{v}_{0}sinθ）^{2}}{2×（-gcosθ）}$=$\frac{{v}_{0}^{2}si{n}^{2}θ}{2gcosθ}$
答：
（1）小球从A运动到B处所需的时间为$\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$，落到B点的速度大小为v₀$\sqrt{1+4ta{n}^{2}θ}$，A、B间的距离为$\frac{2{v}_{0}^{2}tanθ}{gcosθ}$．
（2）从抛出开始计时，经过$\frac{{v}_{0}tanθ}{g}$时间小球离斜面的距离达到最大，最大距离为$\frac{{v}_{0}^{2}si{n}^{2}θ}{2gcosθ}$．

点评 本题关键是采用正交分解法研究平抛运动，正交分解的方向可以灵活选择，同时要抓住两个方向分位移的关系，运用运动学公式处理．