Question

如图所示，由光滑细管组成的轨道固定在竖直平面内，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧．一小球从距离水平地面高为H的管口D处静止释放，最后能够从A点水平抛出落到地面上．若R可以变化，求：
（1）R的最大值；
（2）小球从A点平抛落地时的水平位移x的最大值．

Answer 1

分析：（1）据题，为了使小球能够从A点水平抛出，轨道对小球的压力必须满足N≥0．在A点，根据牛顿第二定律得到N与速度的关系式．小球从D点静止释放运动到A点的过程中，轨道的弹力不做功，机械能守恒，列式得到小球到达A点的速度，联立可求得R的范围，即可求出R的最大值．
（2）小球从A点平抛，有x=v_At，2R=

1

2

gt2，结合上题中v_A的表达式，得到x与R的关系式，运用数学知识求解x的最大值．

解答：解：（1）为使小球能够从A点平抛，需满足：mg+N=

m v 2 A

R

且N≥0．
小球从D点静止释放运动到A点的过程中机械能守恒，故有：
mgH=mg?2R+

1

2

m

v

2 A

联立解得：R≤

2

5

H，所以R的最大值为

2

5

H．
（2）小球从A点平抛，根据平抛运动的规律有：
 水平方向上：x=v_At
 竖直方向上：2R=

1

2

gt2
联立解得：x=

8R(H-2R)

显然，当R=

H

4

时，小球从A点平抛的水平位移有最大值 x_max=H．
答：（1）R的最大值是

2

5

H；
（2）小球从A点平抛落地时的水平位移x的最大值是H．

点评：本题除了运用牛顿第二定律、平抛运动的规律和机械能守恒之外，关键根据这些规律得到x的表达式，运用数学知识求极值，是常用的函数法，要学会运用．