Question

5．由CD段光滑细管以及BC段，AC段粗糙细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一质量为m的小球，从距离水平地面高为H=5R的管口D处静止释放，已知小球在A点水平飞出（小球可看做平抛运动），小球落地时与水平方向的夹角为45°，求：
（1）小球在A点，细管对小球的弹力大小？并说明方向
（2）小球从D点静止释放到水平抛出过程中，摩擦力做功为多少？

Answer 1

分析 （1）小球离开A点后做平抛运动，根据下落的高度求出落地时竖直分速度，根据速度方向得到水平速度，即为A点的速度．在A点，根据牛顿第二定律求细管对小球的弹力．
（2）小球从D点静止释放到水平抛出过程，运用动能定理列式，可求得摩擦力做功．

解答 解：（1）小球离开A点后做平抛运动，落地时竖直分速度为 v_y=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2g•2R}$=2$\sqrt{gR}$
因为小球落地时与水平方向的夹角为45°，所以水平分速度为 v_x=v_y=2$\sqrt{gR}$
小球通过A点的速度为 v_A=v_x=2$\sqrt{gR}$
在A点，设细管对小球的弹力大小为F，方向竖直向下．根据牛顿第二定律得
    mg+F=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得 F=3mg，方向竖直向下．
（2）小球从D点静止释放到水平抛出过程，运用动能定理得：
   mg•（H-2R）+W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得摩擦力做功为 W_f=-mgR
答：
（1）小球在A点，细管对小球的弹力大小为3mg，方向竖直向下．
（2）小球从D点静止释放到水平抛出过程中，摩擦力做功为-mgR．

点评 解决本题的关键是搞清小球的运动过程，把握每个过程和状态的物理规律，特别是明确向心力的来源：合外力．要知道摩擦力是变力，运用动能定理求摩擦力做功是常用的思路．