Question

7．如图所示，在磁感应强度为B，方向竖直向下的匀强磁场中，相距为L的两根足够长平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，一质量为m、电阻为R₁的导体棒ab垂直轨道放置且与轨道电接触良好，轨道左端M点接一单刀双掷开关S，P点与电动势为E，内阻为r的电源和定值电阻R₂相连接，不计轨道的电阻．
（1）求开关S合向1瞬间导体棒的加速度a；
（2）开关S合向1，在导体棒速度等于v时把S合到2，导体棒又向右运动距离x后停下，求S合到2的瞬间导体棒ab两端的电压U及此后通过导体棒的电荷量q₁；
（3）若从开关S合向1到导体棒速度等于v的过程中，通过电源的电荷量为q₂，求此过程中导体棒ab上产生的焦耳热Q₁．

Answer 1

分析 （1）由闭合电路欧姆定律求出电路中的电流，再由安培力公式F=BIL求得力的大小，再由牛顿第二定律得到加速度a；
（2）S合到2的瞬间导体棒ab切割磁感线，由E=BLv求出感应电动势，由串联电路分压规律得到ab两端的电压U．
根据法拉第定律、欧姆定律和电量公式q=It结合求得通过导体棒的电荷量q₁；
（3）根据能量守恒定律和串并联电路特点求解ab上产生的焦耳热Q₁．

解答 解：（1）开关S与1闭合瞬间，由闭合电路欧姆定律得：
此时通过导体棒的电流 I=$\frac{E}{{R}_{1}+r}$
由安培力：F=BIL
由牛顿第二定律有 F=ma
解得  a=$\frac{BLE}{m（{R}_{1}+r）}$；
（2）导体棒速度等于v时产生的感应电动势 E₁=BLv
ab两端的电压 U=$\frac{{R}_{2}{E}_{1}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
解得：U=$\frac{BLv{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
此后过程中产生的平均感应电动势：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$，
通过导体棒的电荷量 q₁=$\overline{I}$△t=$\frac{\overline{E}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$•△t
而△Φ=BLx，解得：q₁=$\frac{BLx}{{R}_{1}+{R}_{2}}$；
（2）设此过程中电路中产生的焦耳热为Q，
则：q₂E=Q+$\frac{1}{2}$mv²，
导体棒ab上产生的焦耳热 Q₁=$\frac{{R}_{1}}{{R}_{1}+r}$Q
解得 Q₁=$\frac{{R}_{1}}{2（{R}_{1}+r）}$（2q₂E-mv²）；
答：（1）开关S合向1瞬间导体棒的加速度a为$\frac{BLE}{m（{R}_{1}+r）}$；
（2）S合到2的瞬间导体棒ab两端的电压U为$\frac{BLv{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$，此后通过导体棒的电荷量q₁为$\frac{BLx}{{R}_{1}+{R}_{2}}$．
（3）此过程中导体棒ab上产生的焦耳热Q₁为$\frac{{R}_{1}}{2（{R}_{1}+r）}$（2q₂E-mv²）．

点评 本题从力和能量两个角度分析电磁感应现象，根据法拉第定律、欧姆定律推导出安培力F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，这是常用的经验公式，要能熟练推导．对于导体棒切割类型，关键要正确分析受力，把握其运动情况和能量转化关系．