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    2．某地区多发雾霾天气，PM2.5浓度过高，为防控粉尘污染，某同学设计了一种除尘方案，用于清除带电粉尘．模型简化如图所示，粉尘源从A点向水平虚线上方（竖直平面内）各个方向均匀喷出粉尘微粒，每颗粉尘微粒速度大小均为v=10m/s，质量为m=5×10-10kg，电荷量为q=+1×10-7C，粉尘源正上方有一半径R=0.5m的圆形边界匀强磁场，磁场的磁感应强度方向垂直纸面向外且大小为B=0.1T的，磁场右侧紧靠平行金属极板MN、PQ，两板间电压恒为U0，两板相距d=1m，板长l=1m．不计粉尘重力及粉尘之间的相互作用，假设MP为磁场与电场的分界线．（已知cos37°=0.8，sin37°=0.6，若y=cosα，则α=arccosy） 求：
    （1）微粒在磁场中的半径r并判断粒子出磁场的速度方向；
    （2）若粉尘微粒100%被该装置吸收，平行金属极板MN、PQ间电压至少多少？
    （3）若U0=0.9V，求收集效率．
    （4）若两极板间电压在0～1.5V之间可调，求收集效率和电压的关系．

    分析 （1）根据粒子在磁场中运动的半径公式求出微粒在磁场中运动的半径，根据几何关系确定粒子出磁场时的速度方向．
    （2）粉尘微粒进入电场做类平抛运动，结合水平方向和竖直方向上的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式求出平行金属极板MN、PQ间电压的最小值．
    （3）求出U0=0.9V时y的值，根据几何关系求出粉尘在A处与水平向左方向夹角，从而求出收集效率．
    （4）根据第二问，当1V≤U≤1.5 V时，收集效率η=100%，求出0≤U＜1 V时y与U的表达式，根据几何关系，求出收集效率和电压的关系．

    解答 解：（1）粉尘微粒在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，设轨道半径为r，则有qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
    r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{5×1{0}^{-10}×10}{1{0}^{-7}×0.1}$m=0.5 m
    假设粉尘微粒从B点打出，轨道圆的圆心为O′，由r=R可知四边形AOBO′为菱形，所以OA∥OB′，BO′一定是竖直的，速度方向与BO′垂直，因此速度方向水平向右
    （2）粉尘微粒进入电场做类平抛运动，
    水平方向有l=vt
    竖直方向有a=$\frac{qU}{md}$，y=$\frac{1}{2}$at2
    y=$\frac{qUl2}{2mdv2}$ 把y≥d代入y=$\frac{qUl2}{2mdv2}$
    代入数据解得U≥1 V
    （3）当U=U0=0.9 V时解得y=0.9 m，
    假设该粉尘在A处与水平向左方向夹角α，则y=r+rcosα，解得α=37°
    可知射到极板上的微粒占总数的百分比为η=$\frac{π-α}{π}×100%=79.4%$，
    （4）1V≤U≤1.5 V时，收集效率η=100%
    0≤U＜1 V时，
    对于恰被吸收的粒子：y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}\frac{qU{l}^{2}}{dm{v}^{2}}=U（m）$，
    由y=r+rcosα，α=$arccos\frac{y-r}{r}$得，α=arccos（2U-1），
    收集效率η=$\frac{π-α}{π}×100%=[1-\frac{1}{π}arccos（2U-1）]×100%$．
    答：（1）微粒在磁场中的半径为0.5m，速度方向水平向右．
    （2）平行金属极板MN、PQ间电压至少为1V．
    （3）收集效率为79.4%．
    （4）收集效率和电压的关系为η=$[1-\frac{1}{π}arccos（2U-1）]×100%$．

    点评 本题是信息题，考查带电粒子在电场和磁场中的运动，关键抓住临界状态，结合几何关系综合求解，难度较大．

    练习册系列答案
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